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《高中数学第二讲直线与圆的位置关系第五节与圆有关的比例线段课堂导学案新人教A版选修4-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第五节与圆有关的比例线段课堂导学三点剖析一、用圆幕定理证明ab=cd+ef型线段关系式【例1］如图2-6-1,已知OOi与002内切于点P,002的弦AB切00】于点C,连结PA、PB,PC的延长线交OO2于点D.求证:PC2=PA・PB-AC・BC.B图2-6-1思路分析：要证结论，考虑将左边化成右边形式，将PC变为PD-CD,则左边=PC(PD-CD)=PA・PB-AC•BC=右边,只需分别证明PC・PD=PA・PB和PC•CD二AC・BC即可.证明：连结BD,过P作两圆的公切线PM,TAB是OOi的切线,・•・ZACP二ZMPOZDBP.又•・•ZA=ZD,A
2、AAPC^ADPB.PAPC・•・——=一.•:PD・PC二PA・PB.PDPB由相交弦定理，得PD・CD二AC・CB..PD・PC-PC・CD二PA・PB-AC・BC,PC(PD-CD)=PA・PB-AC・BC.•••PC?二PA・PB-AC・BC.二、用圆幕定理证明N=2型线段关系式Zrd【例2】如图2-6-3,已知:AABC内接于00,ilA的切线交BC的延长线于匕若D为AB的中点,PD交AC于E,求证:PA2AEA思路分析：VPA2=PC•PB,器则只需证PBAEPCEC证明：过c作CF//AB交PD于F,PBBDAEADPBAE:.——二——，——二——
3、.TBD二AD,・•・——二——.PCCFECCFPCEC由切割线定理，得PA2=PC・PB,.PA2PC・PBPB.PA2AE**PC7PC^PCEC温馨提示(1)在两条线段平方比中的一条线段是切线吋，常采用此法一一降幕法.所谓降幕法，就是欲证£■=£，先证a=be,则密=卑=£,再证-=£即可.b2clb2b2hhcl(2)—条线段的平方常由切割线定理得到，有时还可由射影定理、相似三角形的性质得到.三、用运动变化思想探究问题的结论【例3】如图2-6-5,已知AB是(DO的直径,AB垂直于弦CD,垂足为M,弦AE与CD交于F,写出图中有关线段的关系式.图2-6-5
4、解析：由相交弦定理AF・FE二CF・DF,①CM・MD二AM・BM.②•・•CM二MD,③・・・CM2=AM•BM或DM~AM•BM.④连结BD,则ZADB=90°.由射影定理AD^AM・AB.⑤连结DE,・.・At=A7),・・・ZADF二ZAED.TZDAF二ZEAD,•••△ADFs/XAED.・ADAF**AE・・・AD=AE•AF.⑥由⑤⑥得AM-AB二AE・AF.⑦各个击破类题演练1如图2-6-2,©Oh002相交于A、B两点，过A作。O2的切线交于C,直线CB交。O2于D,直线DA交OOi于E.求证：(1)CE=CA;(2)CE'+DA・DE二CDl证
5、明：⑴连结AB,VZ3=Z2,Z2=ZE,・・・Z3=ZE.TZ3二Zl,・・・Z1二ZE.・•・CE=CA.(2)由切割线定理，得CA2=CD・CB,・•・CE=CD・CB.由割线定理，得DA・DE二CD・DB,・・・CE2+DA・DE二CD・CB+CD・DB-CD(CB+DB)二CD〔类题演练2如图2-6-4,已知00为ZkABC的外接圆，AD为(DO切线，交BC延长线于D点，求证斗AB2CD~BDArnrr)erdr)A2DA2解析:等式左侧不易降幕，设法对右侧升幕，—-二羊，故亠二络，只需BDBDBD2AB2BD2ACDARII_j.证——=——即可.ABB
6、D证法一：TAC是弦,AD为切线，・・・ZCAD二ZABC.•••△ABDsACAD..AC_DA，9~b~~db'又由切割线定理，得DA~DC・BD,.AC2DA2_CD^BDCD**AB2DB2~BD2-BD.AC2_CD・AB?证法二：•••△ABDs/CAD,・Sqd_AC?^AABDAB?又ZCAD与AABD同高，・•・'△GW_CDSzBDBD.AC2_CD*AB2~BD类题演练3若将弦CD向下平移至与相切于B点时，如图2-6-6,结论⑥是否仍然成立?若不成立,请探求AE・AF等于哪两条线段的积，并证明.图2-6-6解析：连结EG、BG,VAB是直
7、径，AZAGB=90°.AZBAG+ZABG=90°.由BD是切线，得AB丄BD..-.ZD+ZBAD=90°.AZABG=ZD.又&=犹，・・・ZAEG^ZABG.・•・ZAEG=ZD.・・・E、F、D、G四点共圆.由割线定理，得AE・AF二AG・AD.⑧故AE・AF不等于AD2.结论⑥已不再成立.变式提升3当CD继续向下平移至与相离时，结论⑧是否仍然成立?图2-6-7解析：连结EG、BG.仍然有ZAEG二ZABG二ZD.・・・E、F、D、G四点共圆.AAE・AF=AG・AD.・•・结论⑧仍然成立.
