高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 五 与圆有关的比例线段达标训练 新人教a版选修4-1

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1、五与圆有关的比例线段更上一层楼基础·巩固1点C在⊙O的弦AB上，P为⊙O上一点，且OC⊥CP，则()A.OC2=CA·CBB.OC2=PA·PBC.PC2=PA·PBD.PC2=CA·CB思路解析:根据OC⊥CP，可知C为中点，再由相交弦定理即有PC2=CA·CB.答案:D2如图2-5-12，点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为()图2-5-12A.1B.C.-1D.思路解析:过点B作BB′⊥MN,交O于点B′，连结AB′交MN于点P,此时点P使

2、AP＋BP最小.易知B与B′点关于MN对称，依题意∠AON=60°,则∠B′ON=∠BON=30°,所以∠AOB′=90°，AB′=.故PA＋PB的最小值为2.答案:D3如图2-5-13，已知AB是半圆的直径，直线MN切半圆于C，BD⊥MN于D.求证：BC2=BD·AB.图2-5-13思路分析:简单型的比例线段问题，主要是证两个三角形相似.这样，如何证得两个三角形相似，就成为关键问题，可以利用两角对应相等，也可以利用一角相等，夹边对应成比例.证明:连结AC.∵AB是直径，∴∠ACB=90°.又BD⊥MN，∴∠BDC=

3、90°.∴∠ACB=∠CDB.又MN切⊙O于C，∴∠DCB=∠A.∴△ACB∽△CDB.∴AB∶CB=CB∶BD.则BC2=BD·AB.4如图2-5-14，以⊙O上的一点A为圆心作⊙A，分别交⊙O于B、C，过A作弦AF交公共弦于E，交⊙A于D.求证：AD2=AE·AF.图2-5-14思路分析:由于本题要证的成比例的四条线段在同一条直线上，因此不存在相似三角形，所以必须转移其中一条或两条，以构成两个能够相似的三角形，注意到同圆半径相等的性质，所以将AD换成AB，通过等线段代换，可以达到目的.证明:分别连结、、BF.∵A

4、B=AC，∴AB=AC.∴∠ABC=∠F.又∠BAF公共，∴△ABE∽△BFA.∴AB2=AE·AF.∵AB=AD，∴AD2=AE·AF.5如图2-5-15，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B、C，D为PC的中点，连结AD并延长交⊙O于E，已知BE2=DE·EA.图2-5-15求证：（1）PA=PD;（2）BP2=AD·DE.思路分析:（1）中因为PA与PD在同一个三角形中，所以可以通过说明两角相等解决问题；（2）中则运用切割线定理转换线段.证明:(1)连结AB，证明△BED∽△AEB得∠DBE=∠DAB.又可证∠

5、PAD=∠ADP，∴PA=PD.(2)PA2=PB·PC且PD=CD=PC，PA=PD,∴PD=2PB=PB＋BD.∴PB=BD=PD.又BD·CD=AD·DE，∴可证得结论，且PD=CD.6如图2-5-16，P为圆O外一点，PA、PB是圆O的两条切线，A、B为切点，OP与AB相交于点M，且点C是AB上一点.求证：∠OPC=∠OCM.图2-5-16思路分析:图形中有两条切线，故运用切割线定理得线段和角的关系，在Rt△OPB中运用射影定理，有OB2=OP·OM，代换其中的OB为OC，可得三角形相似，即得角的相等关系.证

6、明:连结OB，由切线长定理，得PA=PB,PM⊥AB，PO平分∠APB.又PB⊥OB，在Rt△OPB中，OB2=OP·OM，∵OB=OC，∴OC2=OP·OM,即.∴△OCP∽△OMC.∴∠OPC=∠OCM.综合·应用7如图2-5-17，PA切⊙O于A，PCB、PDE为⊙O的割线，并且PDE过圆心O，已知∠BPA=30°，PA=23，PC=1，求PD的长.图2-5-17思路分析:求PD，可使用割线定理PC·PB=PD·PE，显然PA切⊙O，∴PA2=PC·PB.可求得PB，但PE=PD＋DE，DE为⊙O直径，所以求⊙

7、O的直径成为解题的关键.解:∵PA切⊙O，∴PA2=PC·PB.又PB=PC＋BC，∴BC=11.连结AO，并延长与⊙O交于K，与CB交于G，则GA=PAtan∠GPA=PAtan30°=2.又Rt△GPA中，∠GPA=30°，∴PG=2GA=4.∴CG=3，GB=8.由相交弦定理GC·GB=AG·GK，可得GK=12，∴直径为14.∴由割线定理有PC·PB=PD·PE，得PD=-7.8如图2-5-18，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC为⊙O的割线，若PA=10，PB=5，∠BAC的平分与BC和⊙O分别交于D、E.

8、求AD·AE的值.图2-5-18思路分析:由切割线定理PA2=PB·PC，由已知条件可得BC长，又通过△ACE∽△ADB，得AD·AE=CA·BA,从而求CA、BA的长即可.解:连结CE，∵PA2=PB·PC，PA=10，PB=5,∴PC=20.∴BC=15.又PA切⊙O，∴∠PAB=∠ACP.∠P公共,∴△PAB∽△PCA.∴=.∵BC为⊙O