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《高中数学第二讲直线与圆的位置关系五与圆有关的比例线段成长学案新人教a版选修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、五与圆有关的比例线段主动成长夯基达标1.点C在⊙O的弦AB上,P为⊙O上一点,且OC⊥CP,则（ ）A.OC2＝CA·CBB.OC2＝PA·PBC.PC2＝PA·PBD.PC2＝CA·CB思路解析:根据OC⊥CP,可知C为中点;再由相交弦定理即有PC2＝CA·CB.答案:D2.如图2-5-10,点A是半圆上一个三等分点,点B是弧AN的中点,点P是直径MN上一动点,⊙O的半径为1,则AP+BP的最小值为( )图2-5-10A.1B.C.D.思路解析:过点B作BB′⊥MN,交⊙O于点B′,连结AB′交MN于点P,此时
2、点P使AP+BP最小.易知B与B′点关于MN对称,依题意∠AON=60°,则∠B′ON=∠BON=30°,所以∠AOB′=90°,AB′=OA2+OB′2=2.故PA+PB的最小值为.答案:D3.如图2-5-11,已知AB是半圆的直径,直线MN切半圆于C,BD⊥MN于D.求证:BC2＝BD·AB.图2-5-11思路分析:简单型的比例线段问题,主要是证两个三角形相似.这样,如何证得两个三角形相似,就成为关键问题,可以利用两角对应相等,也可以利用一角相等,夹边对应成比例.证明:连结AC.∵AB是直径,∴∠ACB＝90°.又
3、BD⊥MN,∴∠BDC＝90°.∴∠ACB＝∠CDB.又MN切⊙O于C,∴∠DCB＝∠A.∴△ACB∽△CDB.∴AB∶CB＝CB∶BD.则BC2＝BD·AB.4.如图2-5-12,以⊙O上的一点A为圆心作⊙A,分别交⊙O于B、C,过A作弦AF交公共弦于E,交⊙A于D.求证:AD2＝AE·AF.图2-5-12思路分析:由于本题要证的成比例的四条线段在同一条直线上,因此不存在相似三角形,所以必须转移其中一条或两条,以构成两个能够相似的三角形,注意到同圆半径相等的性质,所以将AD换成AB,通过等线段代换,可以达到目的.
4、证明:分别连结AB、AC、BF.∵AB＝AC,∴AB=AC.∴∠ABC＝∠F.又∠BAF为公共角,∴△ABE∽△BFA.∴AB2＝AE·AF.∵AB＝AD,∴AD2＝AE·AF.5.如图2-5-13,PA切⊙O于A,割线PBC交⊙O于B、C两点,D为PC的中点,连结AD并延长交⊙O于E,已知BE2＝DE·EA,图2-5-13求证:（1）PA＝PD;（2）BP2＝AD·DE.思路分析:（1）中因为PA与PD在同一个三角形中,所以可以通过说明两角相等解决问题;（2）中则运用切割线定理转换线段.证明:(1)连结AB,证明
5、△BED∽△AEB得∠DBE＝∠DAB.又可证∠PAD＝∠ADP,∴PA＝PD.(2)PA2＝PB·PC且PD＝CD＝,PA＝PD,∴PD＝2PB＝PB+BD.∴PB＝BD＝.又BD·CD＝AD·DE,∴可证得结论,且PD＝CD.6.如图2-5-14,P为圆O外一点,PA、PB是圆O的两条切线,A、B为切点,OP与AB相交于点M,且点C是上一点.求证:∠OPC=∠OCM.图2-5-14思路分析:图形中有两条切线,故运用切割线定理得线段和角的关系,在Rt△OPB中运用射影定理,有OB2=OP·OM,代换其中的OB为OC
6、,可得三角形相似,即得角的相等关系.证明:连结OB,由切线长定理,得PA=PB,PM⊥AB,PO平分∠APB.又PB⊥OB,在Rt△OPB中,OB2=OP·OM,∵OB=OC,∴OC2=OP·OM,即=.∴△OCP∽△OMC.∴∠OPC=∠OCM.7.如图2-5-15,PA切⊙O于A,PCB、PDE为⊙O的割线,并且PDE过圆心O,已知∠BPA＝30°,PA＝,PC＝1,求PD的长.图2-5-15思路分析:求PD,可使用割线定理PC·PB＝PD·PE,显然PA切⊙O,∴PA2＝PC·PB.可求得PB,但PE＝PD+D
7、E,DE为⊙O直径,所以求⊙O的直径成为解题的关键.解:∵PA切⊙O于A,∴PA2＝PC·PB.又PB＝PC+BC,∴BC＝11.连结AO,并延长与⊙O交于K,与CB交于G,则GA＝PAtan∠GPA＝PAtan30°＝2.又Rt△GPA中,∠GPA＝30°,∴PG＝2GA＝4.∴CG＝3,GB＝8.由相交弦定理GC·GB＝AG·GK,可得GK＝12,∴直径为14.∴由割线定理有PC·PB＝PD·PE,得PD＝-7.8.如图2-5-16,PA为⊙O的切线,A为切点,PBC为⊙O的割线,若PA＝10,PB＝5,
8、∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于D、E.求AD·AE的值.图2-5-16思路分析:由切割线定理PA2＝PB·PC,由已知条件可得BC长.又通过△ACE∽△ADB,得AD·AE＝CA·BA,从而求CA、BA的长即可.解:连结CE,
