高中数学第2讲直线与圆的位置关系5与圆有关的比例线段学案新人教a版选修4

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1、五　与圆有关的比例线段1．会论证相交弦、割线、切割线、切线长定理．(重点)2．能运用相交弦、割线、切割线、切线长定理进行计算与证明．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1　相交弦定理阅读教材P34～P35“定理”及以上部分，完成下列问题．1．文字语言圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．2．图形语言如图251，弦AB与CD相交于P点，则PA·PB＝PC·PD.图251AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，AM＝4，BM＝9，则弦CD的长为__________．【解析】　根据相交弦定理，AM·BM＝2，所以＝6，CD＝12.【答案】　12教材整理2　割线定理阅读教材

2、P35～P36“割线定理”及以上部分，完成下列问题．1．文字语言从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．2．图形语言如图252，⊙O的割线PAB与PCD，则有PA·PB＝PC·PD.图252如图253，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A.若BD⊥AE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝__________.图253【解析】　由割线定理知，AB·AC＝AD·AE，即4×6＝3×(3＋DE)，解得DE＝5.【答案】　5教材整理3　切割线定理阅读教材P36“切割线定理”及以上部分，完成下列问题．1．文字语言从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到

3、割线与圆交点的两条线段长的比例中项．2．图形语言如图254，⊙O的切线PA，切点为A，割线PBC，则有PA2＝PB·PC.图254如图255，P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，过点P的直线l交⊙O于B，C，且PB＝4，PC＝9，则PA等于(　　)图255A．4　　　　　B．6C．9D．36【解析】　由切割线定理知，PA2＝PB·PC＝4×9＝36，∴PA＝6.【答案】　B教材整理4　切线长定理阅读教材P36～P40，完成下列问题1．文字语言从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．2．图形表示如图256，⊙O的切线PA，PB，则PA＝P

4、B，∠OPA＝∠OPB.图256[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]切割线定理　如图257所示，已知AD为⊙O的直径，AB为⊙O的切线，割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2.求：图257(1)BC的长；(2)⊙O的半径r.【精彩点拨】　→→【自主解答】　(1)不妨设BM＝MN＝NC＝x.根据切割线定理，得AB2＝BM·BN，即22＝x(x＋x)，解得x＝，∴BC＝3x＝3.(2)在Rt△ABC中，AC＝＝，由割线定理，得CD·AC＝CN·CM，由(1)可知

5、，CN＝，BC＝3，CM＝BC－BM＝3－＝2，AC＝，∴CD＝＝，∴r＝(AC－CD)＝＝.1．解答本题的关键是先根据切割线定理求BC.2．切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等．[再练一题]1．(2016·唐山期末)如图258，△ABC内接于⊙O上，AB＝AC，AD⊥AB，AD交BC于点E，点F在DA的延长线上，AF＝AE，求证：(1)BF是⊙O的切线；(2)BE2＝AE·DF.【导学号：07370045】图258【证明】　(1)连接BD.因为AD⊥AB，所以BD是⊙O的直径．因

6、为AE＝AF，所以∠FBA＝∠EBA.又因为AB＝AC，所以∠EBA＝∠C.又因为∠C＝∠D，∠D＋∠ABD＝90°，所以∠FBA＋∠ABD＝90°，即∠FBD＝90°，所以BF是⊙O的切线．(2)由切割线定理，得BF2＝AF·DF.因为AF＝AE，BE＝BF，所以BE2＝AE·DF.　切线长定理　如图259，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的切线与过A，B两点的切线分别交于点E，F，AF与BE交于点P.图259求证：∠EPC＝∠EBF.【精彩点拨】　→→→→【自主解答】　∵EA，EF，FB是⊙O的切线，∴EA＝EC，FC＝FB.∵EA，FB切⊙O于A，B，AB是直径，∴

7、EA⊥AB，FB⊥AB，∴EA∥FB，∴＝，∴＝，∴CP∥FB，∴∠EPC＝∠EBF.1．解答本题的关键是利用对应线段成比例得到CP∥FB.2．运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，即(1)切线长相等，(2)圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明．[再练一题]2.如图2510所示，已知⊙O的外切等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB＝DC，梯形中位线为EF.图2510(1)求证：EF＝AB；(2)若EF＝5，AD∶BC＝1∶4，求此梯形