资源描述：
《高中数学第二讲直线与圆的位置关系五与圆有关的比例线段教材梳理素材新人教A版选修4-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、五与圆有关的比例线段庖丁巧解牛知识•巧学一、相交弦定理1・相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.2.定理的证明：如图2-5-2,求证：PA・PB=PC・PD.证明：连结AC、BD,则由圆周角定理有ZB=ZC,又VZBPD=ZCPA,AAAPC^ADPB.・・・PA:PD二PC:PB,即PA・PB二PC・PD.当然，连结AD、BC也能利用同样道理，证得同样结论.3.由于在问题的证明中，(DO的弦AB、CD是任意的，因此，戸/・戸13却0卩。成立，表明“过圆内一定点P的弦，被P点分成的两条线段长的积应为一
2、个定值”.虽然过定点P的弦有无数多条，然而在这众多的眩中有一些长度比较特殊的眩，如过点P的最长或最短的眩，通过它们可以找到定值.图2-5-3如图2-5-3(1),考察动弦AB,若AB过G)0的圆心0,则AB为过点P的最长的弦,设00的半径为R,则PA・PB=(R+OP)(R-OP).如图2-5-3(2),考察过点P的弦屮最短的弦，AB为过00内一点P的直径，CD为过点P且垂直于AB的弦，显然，由垂直定理和相交弦定理，应有PA・PB二PC・PD二(丄CD)JOCSOPJ2R-OP2.由于00是定圆，P为(DO内一定点，故00的半
3、径R与0P的长为定值.设OP=d,比较上述两式,其结论是一致的,即PA・PB=(R+d)(R-d)=R2-d2,为定值.于是，相交弦定理可进一步表述为：“圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积为一定量，它等于圆的半径与交点到圆心距离的平方差.”定圆的任一弦被定点分得两线段长的积为定值，这个定值与点P的位置有关，对圆内不同的点P，—般来说，定值是不同的，即这个定值是相对于定点P与定圆0而言的.知识拓展由笫二式可直接得到相交弦定理的推论：“如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例屮项.”即PCSdTA
4、・PB.二、割线定理与切割线定理1•割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.图2-5-44.定理的证明：连结EC、ED,由于PE为切线，所以ZPEC=ZPDE.又因为ZEPC=ZEPC,于B(1)B⑵图2-5-6是厶PEC^APDE,因此有PE:PC二PD:PE,即PE=PC・PD.同理，有PE2=PA・PB,所以PA・PB二PC・PD.记忆要诀应用定理应注意的两点：(1)所有线段，都有一个
5、公共端点P,而另一端点在圆上；(2)等积式左右两边的线段，分别在同一条割线上.误区警示使用这部分定理推论吋，常常容易出现错误，因此需要结合图形，来准确表述相交弦定量、切割线定理及其推论的题设和结论.如图2-5-5(1)，弦AB和CD交于内一点P,则有PA・PB二PC・PD；如图2-5-5(2),0。为。0的弦，AB为直径，且CD±AB,垂足为P,则有PC~PA・PB.常见错误是将线段关系写为DP・DC-如图2-5-6(1),点P是外一点，PT为切线，T为切点，PA为割线，点A、B是它与O0的交点，则有PT2=PA・PB,常见错
6、误是把线段关系写成PT2=PA・AB.如图2-5-6(2),PAB为OO的割线，PCD为00的另一条割线，则PA・PB二PC・PD.常见错误是把线段关系写成PA・AB二PC・CD.如图2-5-6(3),把切割线定理的推论写三、切线长定理1•我们知道，过圆外一点可以引两条直线与圆相切，在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长称为切线长•切线长是一条线段的反，而这条线段的两端分别是圆外的已知点和切点.注意切线是一条直线，而切线长是切线上一条线段的长，属于切线的一部分.2.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线
7、长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.2.如图2-5-7,PA、PB是00外一点向圆作的两条切线,切点分别为A和B,那么连结0A、OB、0P,因为PA、PB与00相切于A、B两点，则有0A丄AP,0B丄BP,于是ZOAP、Z0BP都是直角.又0A=0B,OP二OP,所以RtAAOP^RtABOP.所以PA二PB,ZOAP=ZOBP.图2-5-7知识拓展由切线长定理，可以得到圆外切四边形的一个重要性质：圆的外切四边形的两组对边和相等.利用这一性质可以方便地解决许多问题.问题・探究问题1相交弦定理、割线定理、切割线定理在表
8、述形式上非常类似，定理中都涉及到两条线段的积相等，那么这些定理有什么内在联系？定理中两条线段的积能确定具体数值吗？思路:相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理统称为圆幕定理，圆幕定理是圆和相似三角形结合的产物.每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点.探究:相
