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《高中数学第二讲直线与圆的位置关系第五节与圆有关的比例线段课堂导学案新人教a版选修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五节与圆有关的比例线段课堂导学三点剖析一、用圆幂定理证明ab=cd+ef型线段关系式【例1】如图2-6-1,已知⊙O1与⊙O2内切于点P,⊙O2的弦AB切⊙O1于点C,连结PA、PB,PC的延长线交⊙O2于点D.求证:PC2=PA·PB-AC·BC.图2-6-1思路分析:要证结论,考虑将左边化成右边形式,将PC变为PD-CD,则左边=PC(PD-CD)=PA·PB-AC·BC=右边,只需分别证明PC·PD=PA·PB和PC·CD=AC·BC即可.证明：连结BD,过P作两圆的公切线PM,∵AB是⊙O1的切线
2、,∴∠ACP=∠MPC=∠DBP.又∵∠A=∠D,∴△APC∽△DPB.∴.∴PD·PC=PA·PB.由相交弦定理,得PD·CD=AC·CB.∴PD·PC-PC·CD=PA·PB-AC·BC,PC(PD-CD)=PA·PB-AC·BC.∴PC2=PA·PB-AC·BC.二、用圆幂定理证明型线段关系式【例2】如图2-6-3,已知:△ABC内接于⊙O,过A的切线交BC的延长线于P,若D为AB的中点,PD交AC于E,求证:=.图2-6-3思路分析:∵PA2=PC·PB,∴=,则只需证=.证明：过C作CF∥AB交P
3、D于F,∴=,=.∵BD=AD,∴=.由切割线定理,得PA2=PC·PB,∴==.∴=.温馨提示(1)在两条线段平方比中的一条线段是切线时,常采用此法——降幂法.所谓降幂法,就是欲证,先证a2=be,则,再证即可.(2)一条线段的平方常由切割线定理得到,有时还可由射影定理、相似三角形的性质得到.三、用运动变化思想探究问题的结论【例3】如图2-6-5,已知AB是⊙O的直径,AB垂直于弦CD,垂足为M,弦AE与CD交于F,写出图中有关线段的关系式.图2-6-5解析：由相交弦定理AF·FE=CF·DF,①CM·M
4、D=AM·BM.②∵CM=MD,③∴CM2=AM·BM或DM2=AM·BM.④连结BD,则∠ADB=90°.由射影定理AD2=AM·AB.⑤连结DE,∵=,∴∠ADF=∠AED.∵∠DAF=∠EAD,∴△ADF∽△AED.∴=.∴AD2=AE·AF.⑥由⑤⑥得AM·AB=AE·AF.⑦各个击破类题演练1如图2-6-2,⊙O1、⊙O2相交于A、B两点,过A作⊙O2的切线交⊙O1于C,直线CB交⊙O2于D,直线DA交⊙O1于E.求证:(1)CE=CA;(2)CE2+DA·DE=CD2.图2-6-2证明:(1)连
5、结AB,∵∠3=∠2,∠2=∠E,∴∠3=∠E.∵∠3=∠1,∴∠1=∠E.∴CE=CA.(2)由切割线定理,得CA2=CD·CB,∴CE2=CD·CB.由割线定理,得DA·DE=CD·DB,∴CE2+DA·DE=CD·CB+CD·DB=CD(CB+DB)=CD2.类题演练2如图2-6-4,已知⊙O为△ABC的外接圆,AD为⊙O切线,交BC延长线于D点,求证:.图2-6-4解析:等式左侧不易降幂,设法对右侧升幂,==,故=,只需证即可.证法一:∵AC是弦,AD为切线,∴∠CAD=∠ABC.∴△ABD∽△CA
6、D.∴.又由切割线定理,得DA2=DC·BD,∴==.∴.证法二:∵△ABD∽△CAD,∴=.又△CAD与△ABD同高,∴=.∴.类题演练3若将弦CD向下平移至与⊙O相切于B点时，如图2-6-6，结论⑥是否仍然成立?若不成立，请探求AE·AF等于哪两条线段的积，并证明.图2-6-6解析:连结EG、BG,∵AB是直径,∴∠AGB=90°.∴∠BAG+∠ABG=90°.由BD是切线,得AB⊥BD.∴∠D+∠BAD=90°.∴∠ABG=∠D.又,∴∠AEG=∠ABG.∴∠AEG=∠D.∴E、F、D、G四点共圆.由
7、割线定理,得AE·AF=AG·AD.⑧故AE·AF不等于AD2.结论⑥已不再成立.变式提升3当CD继续向下平移至与⊙O相离时,结论⑧是否仍然成立?图2-6-7解析:连结EG、BG.仍然有∠AEG=∠ABG=∠D.∴E、F、D、G四点共圆.∴AE·AF=AG·AD.∴结论⑧仍然成立.
