高中数学第二讲直线与圆的位置关系三圆的切线的性质及判定定理学案新人教A版选修4-1

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1、的切线的性质及判定定理习课程目畅•jCECHENGMUBIAOYINHANG^1.理解切线的性质定理及其两个推论，并能解决相关的计算或证明问题.JICHUZHISHISHULI2.掌握切线的判定定理，会判定直线与圆相切.是（A.等边三角形B.锐角三角形文字语言圆的切线垂直于经过切点的—符号语言直线1与圆。相切于点A,则图形语言A1作用证明两条直线垂直O1.切线的性质定理【做一做1】如图所示，直线/与O0相切于点儿〃是1上任一点（与A不重合）,则△创〃文字语言经过圆心J1垂直于切线的直线必经过符号语言直线/与圆0相切于点过0作直线刃丄厶则力丘图形语言dm41作用证明点在直

2、线上［）•钝角三角形2.性质定理推论1【做一做2】如图所示，直线/与相切，戶是/上任一点，当0PV1时，贝叽C.直角三角形A."不在00上C.P不可能是切点D.0P大于的半径3•性质定理推论2文字语言经过切点且垂直于切线的直线必经过符号直线/与圆0相切于点儿过点外作直线/〃丄/,则阻—语言图形语言dAm作用证明点在直线上(0纳总结•由性质定理及英两个推论的条件和结论I'可的关系，可得11!如下的结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个.⑴垂直于切线；⑵过切点；⑶过圆心.于是在利用切线的性质时，过切点的半径是常作的辅助线.【做一做3】直线/与00相切于

3、点尢在经过点"的所有直线中，经过点。的直线有()A.1条B.2条C.3条D.无数条4.切线的判定定理文字语言经过半径的并且于这条半径的直线是圆的符号语言加是圆0的半径，直线/丄刃，且〃丘厶则/是圆。的图形语言£A1作用证明直线与圆相切名师点拨••求证：直线血/是00在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，强调“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，如图①，②屮的例子就不能同时满足这两个条件，所以都不是圆的切线.的切线.答案:1.半径创丄/【做一做1】C・・・/与00相切,：.lL0A.・・・刃丄初・・・Z刃〃=90°,△01〃是直角

4、三角形.2.切点m【做一做2】B由于0PL1,则P是/与的切点，则P在上.3.圆心m【做一做3】A过戶且垂直于Z的直线仅有1条，此时点0在该垂线上，故选A・4.外端垂直切线切线【做一做4】分析：转化为证明况丄力〃即可.证明：如图，连接久.•・•劭=68,是等腰三角形.又AC=CB,・・・CC丄AB.又6C是00的半径，.••直线AB是。。的切线.尖破ZHONGDIANNANDIANTUPO^重》难扁•1.圆的切线的有关知识剖析：(1)切线和圆只有一个公共点；(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；(3)切线垂直于过切点的半径；(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；(5)经过

5、切点垂直于切线的直线必过圆心.2.判定切线的方法剖析：判定切线通常有三种方法：(1)定义法：和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；(2)距离法：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)定理法：过半径外端且和该半径垂直的直线是圆的切线.“过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线”是“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”的定理具体化.在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法：若已知要证的切线经过圆上一点，则需把这点与圆心相连，证明这条直线与此半径垂直，即用定理法;若不能确定己知要证的切线与圆有公共点，则需先向这条直线作垂线，再证明此垂线段是圆的半径，即用距离法证明;

6、皀吁用定义法证明.2』曲里例题•画冒-^4DIANXINGLITILINGWU题型一圆的切线性质的应用【例题1】如图，在中,的切线交于E.AB=AC,以肋1为直径的00交兀于点〃，过点〃作G>0求证：DE1AC・则〃丄质，故要证DE1AC,只需要证明OD//AC即可.分析：由于加是00的切线，反思：利用圆的切线的性质來证明或进行有关的计算时，连接圆心和切点的半径是常用辅助线，岀现了垂直关系.题型二判断或证明圆的切线【例题2】如图，肋是的直径，处平分ZBAF交©0于点E,过F作直线与你垂直,交/厂的延长线于点〃，且交外〃的延长线于点C.求证：C〃是00的切线.分析：只需证明

7、必'丄m即可.反思：定理法判定圆的切线是平面儿何中最常用的方法.这种方法的步骤是：①连接圆心和公共点；②转化为证明直线过公共点且垂直于所连线段.由此看出，证明圆的切线可转化为证明直线垂直.答案：【例题1】证明：连接OD,AD,如图.•・・/!〃为00直径，:.ADVBQ•：AB=AG即氏为等腰三角形，・・・应?为〃C边上的屮线，即BD=DC.又0A=0B,・・・0〃为的中位线.・•・00//AC.・・•加切O0于〃，：.0DA.DE:.DEVAC.【例题2】证明：如图，连接处•：0A=0E,AZ1=Z2.又・・•胚平分ZBAF