高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 三 圆的切线的性质及判定定理达标训练 新人教a版选修4-1

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1、三圆的切线的性质及判定定理更上一层楼基础·巩固1如图2-3-6,已知直线AB经过⊙O上的一点C，并且OA=OB，CA=CB，求证：直线AB是⊙O的切线.图2-3-6思路分析:如图，由于直线AB经过⊙O上一点C，所以连结OC，只要证明OC⊥AB即可.证明:如图，连结OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC是等腰△OAB底边AB上的中线.∴AB⊥OC.又∵点C在⊙O上，∴AB是⊙O的切线.2已知l1、l2分别切⊙O于点A、B，且l1∥l2，连结AB，如图2-3-7所示.图2-3-7求证：AB是⊙O的直径.思路分析:过A、O作直线OA，再证OA过点B.不能先连结

2、AB，因为没有相关的定理可运用.证明:过O、A两点作直线OA.∵l1切⊙O于点A，∴OA⊥l1.∵l1∥l2，∴OA⊥l2.∵l2切⊙O于点B，∴OA过切点B（经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点）.∴AB为⊙O的直径.3已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD.图2-3-8求证：DC是⊙O的切线.思路分析:要证DC是⊙O的切线，因为D是圆上的点，所以应想到连结OD，再证明OD与DC垂直即可.题目中已经有∠OBC是直角，根据图形，考虑证明三角形全等.证明:连结OD.∵OA=OD，∴∠1=∠2.∵AD∥OC，∴∠1=∠3,∠2=∠

3、4.∴∠3=∠4.在△OBC和△ODC中，OB=OD，∠3=∠4，OC=OC，∴△OBC≌△ODC.∴∠OBC=∠ODC.∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°.∴∠ODC=90°.∴DC是⊙O的切线.综合·应用4如图2-3-9所示，D是⊙O的直径AB延长线上的一点，PD是⊙O的切线，P是切点，∠D=30°.图2-3-9求证：PA=PD.思路分析:欲证PA=PD，只要证明∠A=∠D=30°即可.证明:连结OP，∵PD是⊙O的切线，P为切点,∴PO⊥PD.又∵∠D=30°,∴∠POD=60°.∴∠A=30°.∴∠A=∠D.∴PA=PD.5某海域直径为30海

4、里的暗礁区中心有一哨所，值班人员发现有一轮船从哨所正西方向45海里的B处向哨所驶来，哨所及时向轮船发出危险信号，但轮船没有收到信号，又继续前进了15海里到达C处,才收到此哨所第二次发出的紧急危险信号.(1)若轮船收到第一次危险信号后，为避免触礁，航向改变角度至少应为东偏北多少度？(2)当轮船收到第二次危险信号时，为避免触礁，轮船航向改变的角度至少应为东偏南多少度（精确到度）?思路分析:轮船是否有触礁危险，在于轮船航行所在的直线与以A点为圆心、以15海里为半径的圆的位置关系，此题应从直线与圆相切这一特殊位置关系入手.触礁问题是传统的三角应用题，本题增设了第

5、一次没有收到信号，二是两次分别指定了方位角，综合了解直角三角形、直线与圆的位置关系、切线的性质与判定等知识.解此类题时要注意切线的作用.解:(1)过B作⊙A的切线，D为切点，连结DA，则∠ADB=90°.在Rt△ABD中，sinα=，∴α≈20°.(2)过C作⊙A的切线，E为切点，连结AE，则∠AEC=90°.在Rt△ACE中，AC=45-15=30，sin∠ACE==，∠ACE=30°.