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《高中数学第二讲直线与圆的位置关系三圆的切线的性质及判定定互动课堂学案新人教A版选修4-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、三圆的切线的性质及判定定理互动课堂重难突破一、圆的切线的性质定理及推论1.圆的切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.此定理强调半径必须经过切点，否则结论不成立.由于过已知点有II只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点;反过来，过切点垂直于切线的直线一定经过圆心，因此可以得到两个推论：推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.2.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，可得出如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个.(1)垂直于切线；(2)过切点；
2、(3)过圆心.于是在利用切线性质时，过切点的半径是常作的辅助线.3.另外，圆的切线还有两条性质应当注意，一是切线和圆只有一个公共点；二是切线和圆心的距离等于圆的半径.在许多实际问题屮，我们也利用它们来解决.二、切线的判定定理1.切线的判定定理是经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线•在定理中要分清定理的题设和结论，强调“经过半径外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线，如图2-3-1的例子就不同时满足两个条件，所以都不是圆的切线.图2-3-12.用判定定理证明一直线与圆相切时，必须满足两个条件:①过半径的外端;②垂直于这条半径
3、.因此在解决相关问题吋，若已知要证的切线经过圆上一点，则需把这点与圆心相连,证这直线与这半径垂直;否则需先向这直线作垂线,再证这垂线段是圆的半径.三、刨根问底问题1判断一条直线是否是圆的切线，通常有哪些方法？一般如何选取合适的方法？探究:判定切线通常有三种方法：(1)和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；(2)和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线.“过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线”只是把“到圆心距离等于半径的直线是圆的切线”的定理具体化，在使用吋要根据题日的具体要求选取合适的方法，如果涉及到数值计算或距
4、离问题，通常利用(2)，如果涉及到线段的位置关系等，通常选収(3).问题2己知下列5个命题：(1)过半径外端的直线是圆的切线；(2)垂直于半径的直线是圆的切线；(3)经过半径外端和这条直线垂直的直线是圆的切线；(4)过直径端点且和这条直径垂直的直线是圆的切线；(1)和圆有一个交点的直线是圆的切线.其中正确的命题序号是•探究:首先判断这些命题的条件与切线判定定理或定义是否--致.(3)(4)正确.活学巧用【例1】如图2-3-2所示，梯形ABCD^.AD//BCtZ^90°，且A陕BOAB,AB为的直径,求证:G)0与①相切.图2-3-2思路解析:欲证(D0与Q
5、相切只需证明圆心0到直线〃的距离等于的半径即可.证明：过0点作0吐CD,垂足为E,:.AD//OE//BC,TO为肋的屮点，・•・£为切的中点.：.0E=-(AD.又IAD+BC二個2：.0E=-AB=QO的半径.・・・O0与仞相切.2【例2】如图2-3-3所示，已知胭为半圆0的直径，直线拗切半圆于点C、初丄她V于点〃,应'丄MN于点E,处、交半圆于点F,AD=3cm,BE=1cm.图2-3-3(1)求。。的半径；(2)求线段加的长.思路解析：(1)连结0C证点C为加的中点•在解有关圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径.对于(2)则连结AF,证四边形血狞
6、'为矩形，从而得到AD二EF,DE二处;然后在R仏ABF中运用勾股定理，求弭尸的长.解：(1)连结0C.・・・.“府切半圆于点Cy:.OCLMN.・.・ADIMN,BE丄MN,AD//OC//BE.'：0A=0B,:・CXCE.：.0C=-(AD+BE)=5cm.2:.GO的半径为5cm.(2)连结处・・•肋为半圆0的直径，・•・厶砂90°.・・・ZAFE二90°.又SD&ZDEF二,・・•四边形加如7为矩形.・・・DE二处；AD=EF二3cm.在R仏ABF中，〃F=BE—E片4cm,AB=2^10cm.由勾股定理，得AF=a/aB2-BF2=7102-42
7、=2V21,・・・DE=2殛.【例3】如图2-3-4所示,力〃为00的直径，应；6Z?为00的切线,2、〃为切点,图2-3-4（1）求证:应?〃％;（2）若00的半径为1,求初・％的值.思路解析:对于（1）,连结〃、BD,证ADA,BD,OCA.BD对于（2）,连结BDy证厶A劭s△ocB即可.（1）证明：连结处BD「：BC、G?是OQ的切线，：・OBIBC,ODVCD.:.ZOB&ZODC=90°.又-0片OD,0&0C,・・・Rt△宓竺RtA0Z?6：:・B8CD「：OR二0D,:.OCA.BD.又•・・〃为（DO的直径，AADB=90°,即ADLBD
8、.:.AD//OC.（2）解：・・％〃〃％：.^A二
