高中数学第2讲直线与圆的位置关系3圆的切线的性质及判定定理学案新人教a版选修4

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1、三　圆的切线的性质及判定定理1．掌握切线的性质定理及其推论，并能解决有关问题．(重点、难点)2．掌握切线的判定定理，会判定直线与圆相切．(易错、易混点)[基础·初探]教材整理1　切线的性质定理及推论阅读教材P30倒数第2行以上部分，完成下列问题．1．性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．如图231，已知AB切⊙O于点A，则OA⊥AB.图2312．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．3．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．AB是⊙O的切线，能确定CD⊥AB的条件是(　　)A．O∈CD　　　　B．CD过切点C．

2、O∈CD，且CD过切点D．CD是⊙O的直径【解析】　由切线的性质定理知，选项C正确．【答案】　C教材整理2　切线的判定定理阅读教材P30～P31，完成下列问题．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．下列说法：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线．其中正确的有(　　)【导学号：07370037】A．①②　　B．②③　　C．③④　　D．①④【解析】　根据切线的定义及判定定理知③④正确．【答案】　C[

3、质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]圆的切线性质的应用　如图232所示，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB，AD⊥CD.图232(1)求证：OC∥AD；(2)若AD＝2，AC＝，求AB的长．【精彩点拨】　(1)要证OC∥AD，只需证明OC⊥CD.(2)利用△ADC∽△ACB可求得．【自主解答】　(1)证明：如图所示，连接BC.∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD.又AD⊥CD，∴OC∥AD.(2)∵AC平

4、分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∴△ADC∽△ACB.∴＝，∴AC2＝AD·AB.∵AD＝2，AC＝，∴AB＝.1．利用圆的切线的性质来证明或进行有关运算时，常用连接圆心与切点的半径与切线垂直这一理论产生垂直关系．2．常作的辅助线(1)连接切点与圆心的半径．(2)构造直径所对的圆周角．[再练一题]1．如图233，已知AD为⊙O的直径，B为AD延长线上一点，BC与⊙O切于C点，∠A＝30°.图233求证：(1)BD＝CD；(2)△AOC≌△BDC.【证明】

5、　(1)因为AD为⊙O的直径，所以∠ACD＝90°.又因为∠A＝30°，OA＝OC＝OD，所以∠ACO＝30°，∠ODC＝∠OCD＝60°，又因为BC与⊙O切于C点，所以∠OCB＝90°，所以∠BCD＝30°，所以∠B＝30°，所以∠BCD＝∠B，所以BD＝CD.(2)因为∠A＝∠ACO＝∠BCD＝∠B＝30°，所以AC＝BC，在△AOC和△BDC中，所以△AOC≌△BDC.圆的切线性质和判定定理的综合应用　如图234，AB为⊙O的直径，D是的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于点F.【导学号：07

6、370038】图234(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若DE＝3，⊙O的半径为5，求BF的长．【精彩点拨】　(1)利用圆的切线判定定理证明．(2)作DG⊥AB于G，利用△ADG∽△AFB求解．【自主解答】　(1)证明：连接OD，∵D是中点，∴∠1＝∠2.∵OA＝OD，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴OD∥AE.∵DE⊥AE，∴DE⊥OD，即DE是⊙O的切线．(2)过D作DG⊥AB，∵∠1＝∠2，∴DG＝DE＝3.在Rt△ODG中，OG＝＝4，∴AG＝4＋5＝9.∵DG⊥AB，FB⊥AB，∴DG∥FB，∴△ADG∽△AFB，∴＝

7、，∴＝，∴BF＝.1．解答本题(2)的关键是作出辅助线DG⊥AB于G，然后利用三角形相似求解．2．对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果．[再练一题]2．如图235，已知A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC＝BC，AC＝OB.图235(1)求证：AB为⊙O的切线；(2)若∠ACD＝45°，OC＝2，求弦CD的长．【解】　(1)证明：如图，连接OA，∵OC＝BC，AC＝OB，∴OC＝BC＝CA＝OA，∴△ACO为等边三角形，∴∠O＝

8、60°，∴∠B＝30°，∴∠OAB＝90°，∴AB为⊙O的切线．(2)作AE⊥CD于点E，∵∠O＝60°，∴∠D＝30°.又∵∠ACD＝45°，AC＝OC＝2，∴在Rt△ACE中，CE＝AE＝，在Rt△ADE中，∠D＝30°，∴AD＝2，∴DE＝.∴CD＝DE＋