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1、§.9函数与方程基础知识・自主学习要点梳理1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x)(xwD),把使成立的实数x叫做函数y=f(x)(xwD)的零点.(2)几个等价关系方程f(x)=0有实数根？函数y=f(x)的图像与有交点？函数y=f(x)有(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图像是连续不断的一条曲线并且有2.使得,那么函数y=f(x)在区间,这个也就是f(x)=O的根.2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系y=ax▼内有零点，即存在ce(a,b),二次函数A0)的图像IpI■IV■Ox3.二分法对
2、于在区间［a,b］上连续不断且的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间,使区间的两个端点逐步逼,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.［难点正嶷点清源］1.函数的零点不是点函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点.在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.2.零点存在性定理的条件是充分而不必要条件若函数y=f(x)在闭区间［a,b］上的图像是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符相反，即f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在ce
3、(a,b)使f(c)=O,这个c就是方程f(x)=0的根.这就是零点存在性定理.满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点.如图，f(a)f(b)>0,f(x)在区间(a,b)上照样存在零点，而且有两个.所以我们说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要.基础自测)设f(x)=3x+3x—&用二分法求方程3x+3x—8=0在xe(1,2)内近似解的过程中得f(1)vO,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间o卄卞胳叙、2—ax—b的两个零点是2和3,贝ij函数g(x)=bx题型尸判断函数在给定区间上零点的存在性例1判断下列函数在给定区间上是否存在零点.
4、"钉2—3x_18,xe[1,8]；(1)f(x)=x禹锻蹩idg2(x+2)-x,xg[1,3].斗由飞拓列oX+3x的零点所在的一个区间是()⑴(2010天•津)函数f(x)=2A.(—2,—1)B.(—1,0)C・(0,1)一D・(1,2)(2)设函数f&)=X—Inx(x>0),贝【Jy=f(x)()G3)A・在区间)片，1，,(1,e)内均有零点B・在区间fI,(1,e)内均无零点C.在区间e【】,1内有零点，在区间(he)内无零点1D.在区间°变式训练2,1内无零点，在区间(1,e)内有零点题型二函数零点个数的判断例2若定义在R上的偶函数f(x)满魅+2)=f(
5、x),且当xe[0,1]时，f(x)=x,则函数y=f(x)—Iog3
6、x
7、的零点个数是・【】(2011混知f(x)是R上最小正周期豹的周期函数，且当OSxv2时，f(x)x,则函数y=f(x)的图像在区间[0,6]上与x轴的交点的个数内)——XA.6B.7C.8D.9题型三次函数的零点分布题+2mx+2m+1=0.—ax—1的零点是・1.右函数f(x)=xs贝k的值为2.已知函数f(x)=lnx-x+2有一个零点所在的区间依l,k+1)(keN4.X——若函数f(x)=ax—a(a>0,且a=M)有两个零点,则製a的取值范围是5已知函数f(x)=x?+x+a在区间(0「)上有零点，则
8、数a的取值范(fl是题型分类・深度剖析（1）若方程有两根，其屮一根在区间（一1,0）内，另一根在区间（1,2）内，求m的范围;(2)若方程两根均在区何M)内，求m的范围.变式训练32+bx+c,且f⑴=—a,3a>2c>2b,求证:设函数f(x)=ax__2b3(1)a>0且一3<⑵函数f(x)在区(越,2)内至少有一个零点；(3)设X1,X2是函数f(x)的两个零点，s
9、X1—x2
10、<6•数形结合思想在函数零点题中的应用(x>0).22+2ex+m—1,g(x)=x+e试题(12分)已知函数f(x)=-xx(1)若y=g(x)—m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，®g(
11、x)-f(x)=0有两个相异实根.思想方法•感悟提高方法与技巧1.函数零点的判定常用的方法有:⑴零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)=O.3.2.研究方程f(x)=g(x)的解，实质就是研究G(x)=f(x)—g(x)的零点.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其实质是通断£馭中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值.失误与防范1.对于函数y=f(x)(xwD),我
