函数与方程提高学生版

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1、函数与方程提高1.函数的零点(1)甫数零点的定义对于函数y=f(x)(xGD),把使_心)=0成立的实数x叫作函数y=J(x)(x^D)的零点.(2)几个等价关系方程./(x)=0有实数根O函数y=j{x)的图像与x轴有交点O函数卩=/U)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y=J{x)在区间［a,b］上的图像是连续不断的一条曲线，并且有他/)•仙)vO,那么函数y=/U)在区间(a,方)内有零点,即存在cw(a,b),使得Me)=0,这个c也就是.心)=0的根.2.二次函数y=ax2+bx

2、+c(a>0)的图像与零点的关系J>0力=0J<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像飞~0yJ一XEX与X轴的交点龟01血0)(X

3、0)无交点零点个数2103.二分法⑴定义：对于在区间［a,切上连续不断且血MbXO的函数y=/(x),通过不断地把函数/(X)的零点所在的区间一分为一•,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫作二分法.(2)给定精度£,用二分法求函数./(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间［a,b］,验证./(a)：")<0,给定精度心②求区间(a,b)的中点c；

4、③计算/(c)；(门若.弘)=0,则c就是函数的零点；(ii)若■他z)：/(c)<0,则令b=c(此吋零点xoe(<7,刀)；(iii)若心)./@)<0,则令a=c(此时零点xoe(c,b))・④判断是否达到精度£：即若a~b

5、条件，而不是必要条件.3.利用图像交点的个数判断函数的零点：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.题型一函数零点的判断【例1】在下列区间中,A.(-鲁，0)函数/(x)=ex+4x~3的零点所在的区间为B.(0,

6、)c.（春

7、）d・4》［例2］判断下列函数在给定区间上是否存在零点・.Ax)=log2(^+2)-x,xe［l,3］.思维启迪：第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第(2)问利用零点的存在性定理或利用两图像的交点来求解.探究提高求解函数的零

8、点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程,三是用图像.变式训练1函数/W=2x+3x的零点所在的一个区间是A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)题型二函数零点个数的判断【例3】若定义在R上的偶函数/W满足_/(x+2)=/(x),且当皿［0,1］时，./(x)=x,则函数y=/(x)—1og3

9、x

10、的零点个数是.思维启迪：函数零点的个数O方程解的个数O函数y=f(x)与尹=log3

11、x

12、交点的个数.变式训练2(2012-天津)函数人兀)=2丫+兀3—2在区间(0,1)内的零

13、点个数是(B)A.0B.1C.2D.3・题型三二次函数的零点问题［例4］已知关于x的二次方程兀2+2”?x+2加+1=0.(1)若方程有两根，其屮一根在区间(一1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求〃?的范I韦I；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求加的范围.题型四函数零点的应用【例5】若关于x的方程2"+2力+。+1=0有实根，求实数a的取值范围.变式训练3已知函数7=片三”思维启迪：方程的根也就是与方程对应的函数零点，判断方程的根是否存在，可以通过构造相应的函数，将其转化为函数零点的存在性问题求解，

14、也可直接通过分离参数，转化为函数的值域问题求解.的图像与函数y=kx~2的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是(0,l)U(l,4)_・数形结合思想在函数零点问题中的应用e2典例：(12分)己知函数J(x)=-x2+2ex+m-l,g(x)=x+~(x>0)-•A⑴若y=g(x)~m有零点，求加的取值范围；(2)确定加的取值范围，使得g(x)—/(x)=0有两个相异实根.审题视角(l)y=g(x)—加有零点即y=g(x)与y=m的图像有交点，所以可以结合图像求解.(2)g(x)—/(x)=0有两个相异实根Q

15、y=/(x)与y=g(x)的图像有两个不同交点，所以可利用它们的图像求解.温馨提醒(1)求函数寒点的值，判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数，利用数形结合的方法进行求解.⑵本题的易错点是确定g(x)的最小值和/U)的最大值时易错.要注意函数最值的求法.方法与技巧1.函数零点的判定常用的方法有⑴零点存在性定理；