函数与方程问题学生版

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1、函数与方程知识准备:y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标叫做该函数的零点，即f(x)=0的解。若y=f(x)的图像在［a,b］上是连续曲线,且f(a)f(b)<0,则在(a,b)内至少有一个零点，即f(x)=0在(a,b)内至少有一个实数解。f(x)=0有实根oy=f(x))与x轴有交点oy=f(x)有零点注意：1、这里所说“若f(a)f(b)<0,则在区间(a,b)内方程f(x)=O至少有一个实数解”指出了方程f(x)=0的实数解的存在性，并不能判断具体有多少个解；2、若f(a)f(b)<0,且y=f(x)在(a,b)内是单调的，那么，方程f(x)=0在(a,b)内

2、有唯一实数解；3、我们所研究的大部分函数，其图像都是连续的曲线；4、但此结论反过来不成立，如:在［-2,4］中有根，但f(-2)>0,f(4)>0,f(-2)f(4)>0;5、缺少条件在［a,b］上是连续曲线则不成立，如：f(x)=l/x,有f(-l)xf(1X0但没有零点。二分法：通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围，进而计算零点的近似值。一、基础性测试1.若齒数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是()A.0,2B.0,C.0,D.2,2.灘攵⑴在区间(一2,2)上的图象是连续的，且方程沧)=0在(一2,2)上仅有一个实根0,

3、则/(—1)呎1)的值()A.大于0B.小于0C.等于0D.无法确定3.己知函数几兀)的图像如图，其屮零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A.4,4B.3,4C.5,4D.4,34.在用二分法求函数/U)在区间(Q,b)上的唯一零点必的过程中，取区间(d,b)上的中点呼,若=则函数/U)在区间(°,b)上的唯一零点心()A.在区间(a,c)内B・在区间(c,方)内C.在区间(a,c)或(c,b)内D.等于耳5.用二分法研究函数f(x)=x2+3x~1的零点时，第一次计算/(0)v0,f(0.5)>0,可得一个零点刘丘,第二次应计算,以上横线应填上的内容为()A.

4、(0,0.5)/(0.125)B.(0,1)几0.5)C.(0.5,1)几0.75)D.(0,0.5)几0.25)4.用一根长为12m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是・二、基本题型I、判断零点的个数例1、方程2*—兀一2=0在实数范围内的解有个.例2、函数f(x)=ax—x—a(a>0且aHl)有两个零点，则实数a的范围是()变式1、函数沧）是［—1,1］上的增函数，月訣一贝9方程沧）=0在［—1,1］内（）A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C・有唯一的实数根D.没有实数根II、判断零点的范例3、表格中的数据可以判定方程e'-x-2=0的一个

5、根所在的区间伙，k+1）伙GN）,则£的值为（）X-10123ex0.3712.727.3920.09兀+212345A.OB・1C・2D・3例4、方程1赞+兀=0的实数解的存在区间为变式2、函数f(x)=ex+x~2的零点所在的一个区间是()A.(—2,-1)B.(-1,0),1)D.(1,2)2变式3、函数/(x)=ln(x+l)--的零点所在的大致区间是()✓VA.(0,1)B.(1,2)C.(2,e)D.(3,4)III、二分法求近似解例5、在26枚崭新的金币屮，混入了一枚外表与它们完全相同的假币（重量轻一点），现在只有一台天平，请问：你最多称次就可以发现这枚假

6、币.IV、综合性问题例6.设函数伦）=g+2d+l（dH0）在［一1,1］上存在一个零点，求实数a的取值范围.例7.关于兀的方程mx2+2x+l=0至少有一个负根，则加的范

7、韦I为变式4、关于兀的二次方程x2+（m-l）x+l=0在区间［0,2］上有解，求实数加的取值范围.例&要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户（如图所示），在窗框为定长/的条件卜S要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸?三、巩固性训练A1.设.f(x)=3”+3兀一8,用二分法求方程3“+3兀一8=0,在兀丘(1,2)内近似解的过程中得/(1)<0,A1.5)>0,几1.25)<0,则方程的

8、根落在区间()A.(1.25,1.5)B・(1,1.25)C・(1.5,2)A2.下列函数中能用二分法求零点的是()y一