用函数方程定义初等函数

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1、专家名著用函数方程定义初等函数在上节中我们看到，某些函数方程的解恰是基本的初等函数.例如，函数方程（101）的解是对数函数.一般说来，如果有某两个单调函数都满足这个函数方程，那末它们都是对数函数，差别只在于对数的底a不同而已（为了保证解的唯一性，可以给出补充条件）.这说明，函数方程（101）刻划了对数函数的特有属性.从这个函数方程出发，而不必从对数函数的通常定义出发，我们同样可以推出对数函数的一系列性质.现在对照排列如下：因此，我们可以用函数方程来定义对数函数，也就是说，把对数函数定义为函数方程的解.类似地，如我们在上节所讨论的，还可

2、以把正比例函数定义为函数方程（79）的解.把一次函数定义为函数方程（9）的解.把指数函数定义为函数方程（16）的解.不仅如此，用函数方程同样能定义其他基本初等函数，例如幂函数和三角函数.本节我们主要讨论用函数方程定义余弦函数.地址：西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层电话：029-86570103第13页共13页由于余弦函数在整个实轴上不再具有单调性，本节里，我们将用连续性来代替单调性这个条件.什么叫函数的连续性？设x0是某区间上的一点.如果当时，，就说函数在点x0连续.在区间上每一点都连续的函数，叫做在这个区间上的连续函

3、数.连续函数的图象是一条没有间隙的连续曲线.我们知道，在三角学中有公式这启示我们可以把余弦函数定义为函数方程（15）的解（这个函数方程我们在第1节的例3中曾遇到过了）.为了使函数方程（15）的解具有唯一性，还需给出下列条件：1．函数在整个实轴上连续.2．方程=0有一个最小正根存在.就是说（113）而当时，.（114）3．（115）（顺便指出，如果将这三个条件加以改变，函数方程（15）将定义另外的函数，例如可以用来定义一种叫做双曲余弦的函数.）现在，我们从（15）和上述三条性质来证明，函数具有一系列性质，这些性质和我们通常所知道的余弦函

4、数cosx的性质完全一样.性质1（对于余弦函数，我们知道cos0=1）证明在函数方程（15）中，令x=y=0.就有地址：西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层电话：029-86570103第13页共13页但由（115）知道，所以得性质2函数是偶函数：=.[对于余弦函数，有cosx=cos(-x)]证明在函数方程（15）中，令x=0，便得注意到，就有性质3[对于余弦函数，有]证明因为但所以性质4（对于余弦函数，有）证明如果x=0，由性质3和1，得性质5（对于余弦函数，有）.证明因为∴地址：西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城

5、A座10层电话：029-86570103第13页共13页性质6（对于余弦函数，有）证明在性质5的等式中，用代x就行了.性质7是以2c为周期的周期函数.（余弦函数cosx是以2π为周期的周期函数）证明以x+c代x.根据性质3有（116）可见2c是的周期.我们进一步证明，2c是的最小正周期.倘若不然.假定也是的正周期，将导致矛盾.事实上，因为2c，2l都是周期，所以有在（116）中令x=0，并根据性质1，就有∴此外，在函数方程（15）中，令x=y=l，又得因而即我们分别研究这两种情形.如果f（l）=1.考虑到性质4，就有由函数方程（15）

6、，上式左边可化为积的形式：根据性质3和2，可得地址：西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层电话：029-86570103第13页共13页代入上式，化简后得或因为，可见是方程的一个比还小的正根.这和条件2矛盾.如果在函数方程（15）中，令我们求得也就是∴这也和条件2矛盾.这就证明了2c是f(x)的最小正周期.性质8.（对于余弦函数，有）证明仍采用反证法，假定对x的某个值x=a，有于是地址：西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层电话：029-86570103第13页共13页所以有（117）但是，另一方面，所以又有（11

7、8）（117），（118）两式互相矛盾.这就证明了性质8.到现在为止，我们证明了满足函数方程（15）（和条件1～3）的函数，它具有与余弦函数相同的许多性质，并且显然也满足函数方程（15）.但是，我们还不能说这里的就是.除非在证明了函数方程（15）的解的唯一性（并且取条件2中的常数），才能断言和恒等：，亦即对于任何实数x，都有=.下面，我们来叙述并证明函数方程（15）的解的唯一性定理.唯一性定理对于给定的正的常数c，不存在满足函数方程（15）和条件1～3的两个不同的函数.证明设有两个函数和都满足函数方程（15）和条件1～3.我们来证明实

8、际上二者恒等：分三步证明：1．首先证明，当自变量x取数列的值，函数和的值相等，即事实上，由条件2有地址：西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层电话：029-86570103第13页共13页从条件1～3得知依次应