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《高二数学人教A必修5学案：25等比数列的前n项和二含答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2.5等比数列的前〃项和（二）［学习目标］1•熟练应用等比数列前〃项和公式的有关性质解题.2.应用方程的思想方法解决与等比数列前A7项和有关的问题.歹预习导学/挑战白我，点点落实［知识链接］上一节我们学习了等比数列的前〃项和的公式，那么该公式与相应的函数有怎样的关系？等比数列的前H项和又有怎样的性质？如何利用这些性质解题？［预习导引］1.等比数列的前斤项和的变式（1）等比数列｛a”｝的前"项和为S”，当公比qHl时，S”=6匸卩=5（仁"）=牛晋=彩__^1_q—1；当q=1时，（2）当公比gHl时，等比数列的前n项和公式是它可以变形为Sn=~^qn+岂
2、，设人=岂，上式可写成Slt=-Ac/l+A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和S”是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数.当公比9=1时，因为©H0,所以必=呦是料的正比例函数（常数项为0的一次函数）.2.等比数列前〃项和的性质（1）连续加项的和（如5”、S2mSm.S治D仍构成等比数列.（注意:qH_l或加为奇数）（2）Sm+n=Sm+qmSn（q为数列｛如的公比）.⑶若｛如是项数为偶数、公比为q的等比数列，则爭=幺戸课堂讲义/更点难点，个个击破C.*8"+2—1)D.*8〃+3—i)答案B解析知)=2+2°
3、+27+…+23"i=2(lfi)规律方法数列是一个特殊的函数，数列的通项公式和数列前n项和公式都是关于n的函数.所以利用函数的思想解题，是解决数列问题的基本方法.跟踪演练1若⑺〃｝是等比数列，且前n项和为Sn=3n-[+t,则尸.答案一£解析显然qHl,此时应有Slt=A(qn~])f又S“=*3"+r,要点二等比数列前n项和性质的应用例2己知等比数列前n项，前2n项,前3/7项的和分别为S”S2n,S3n,求证：£+克=必為+S3”).证明法一设此等比数列的公比为q,首项为心,当q—1时，Sn—na,S2”=2mi，S^n=3na,•I空+S^“
4、=+4/启=5tTa],S”(S2n+S3”)=net](2/?d1+3nci])=5n~ci],・•.£+S2n=S“(S2“+S3”)•S"=]7Z^(1—『")，S3“=1—qn),・・£+Sln=S“(S2“+S3、・法二根据等比数列性质，有S2n=Sn+qnSn=Sn(l+qn)fS3n=Sn+qnSn+q2nSnf・・・£+S；“=£+[Sn(l+qn)]2=S钦2+2qn+q2n),Sn(S2n+S3n)=S^2+2qn+q2,t).规律方法运用等比数列的前〃项和公式要注意公比g=l和qHl两种情形，在解有关的方程（组）时，通常用约分或两式
5、相除的方法进行消元.跟踪演练2在等比数列｛心｝中，已知S“=48,S2“=60,求S3小解因为S2“H2S“，所以qHl,由已知得S1一9牛—I1一9②三①得】+/=£即q=.③将③代入①得严=64,_q所以S3”="；鳥)=64X(1_*)=63.要点三等差、等比数列前/?项和的综合问题例3己知数列｛如的前n项和为S”，且SM=2aw-2(neN*),在数列｛仇｝中，枷=1,点P(仇,久+])在直线兀一)，+2=0上.⑴求数列｛如｝,｛%｝的通项公式;(2)记7^=°]方[+°2方2求几.解(1)由Sn=2an—2,得S“_]=2d”_]—2(mN
6、2),两式相减得cin=2cin—2°”一1，即=2(〃22),0"-
7、又ci=2a]—2,••g1=2,・・・｛禺｝是以2为首项，以2为公比的等比数列，・・・禺=2".•・•点P(b“,仇+1)在直线x-y+2=0上，+2=0,即/?”+]—仇=2,・・・｛%｝是等差数列,V^=l,:.bn=2n-,(2)J几=1X2+3X2?+5X2彳+…+(2/7-3)2,,_
8、+(2/7-1)2",①.•.27；=lX22+3X23+5X24+-+(2n-3)2n+(2n-l)-2n+I.②①—②得：-7],=1X2+2(22+23+-+2,,)-(2m-1
9、)-2m+1,22-2m-2w+1=2+2・「2—⑵?-1)2卄1=2+牛2"—8—(2/7—1)2"+1=(3—2小2"七一6,・•・7；=(2/1一3)・2”+】+6.规律方法等差数列与等比数列既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆.同时,用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错.跟踪演练3在等比数列仙｝中，冷＞O(nGN),公比齊(0,1),且Q
10、d5+2d3d5+d2购=25,又的与的的等比中项为2・(1)求数列｛如｝的通项公式;(2)设仇=1。环，数列｛%｝的前几项和为S”，当半+号+・・•+爭最大时，求几的值.解(1)TQI十2口3。
11、5+=259a亍+2°3。5+=25、又art＞0,.a3+a5=5.又如与山
