数学人教a版必修5第二章25等比数列的前n项和

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1、2.5等比数列的前n项和KECHENGMUBIAOYINHANG谍程目际•1.理解并掌握等比数列前〃项和公式及其推导方法.2.能利用等比数列的前«项和公式解决有关问题.3・掌握等比数列前n项和的性质及应用.J1CHUZHISHI垦础知识•關理SHULI等比数列的前〃项和公式数列｛奶是公比为彳的等比数列，则当q=l时，Sn=;当和时，S尸唱L•⑴数列的前n项和公式时，一定要注意对公比q的讨论（q=l或炉1）.（2）当狞1时，若己知⑷及如则用公式必=叫了较好；若己知则用公式较好・・【做一做】等比数列｛禺｝的公比q=2,首项⑦=2,则S“

2、等于（）A.护+〃B.n2~nC.2”"一2D・2"—1答案：na｝【做一做】F.厶▲—•IIIill。1一4旳1一彳C尖破ZHONGDIANNANDIANTUPO^1.等比数列的前〃项和公式与函数的关系剖析：①当公比q知时，我们已经求得等比数列的前〃项和公式是S”=呼子，它可以变形为S”=-y^-q"+岂，设人=兰，上式可写成Sn=-Aq>l+A.由此可见，非常数列的等比数列的前h项和S”是由关于料的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数.当公比g=l时，因为4=0,所以Sn=na｝t是〃的正比例函数.②

3、当存1时，数列$,S?，S3,…，S“，…的图象是函数y=-AQ+A图象上的一群孤立的点.当q=l时，数列$,S2,S3,…，S”，...的图象是正比例函数注图象上的一群孤立的点.2.等比数列前〃项和的性质剖析：等比数列｛给｝的公比为q,则有：（1）性质1：若某数列的前"项和公式为S尸一AW+A（唇0,狞0且舜1,则此数列一定是等比数列.（2）性质2：在等比数列屮，间隔相等、连续等长的片段和序列成等比数列.即S2”一S“，Syn—S2n成等比数列,公比为q"（狞一1）.在运用性质(2)时,要注意的是S,“，S加_S,“,S3m-S2

4、in,...成等比数列，而S,“,S加,S3刑不一定成等比数列.(3)性质3：在等比数列｛偽｝中，当总项数为加时,S尸qS&(4)性质4：在等比数列｛给｝中，公比为g,”(”一1)n则a｝a2ay...an=a!｛・q2=(纠(5)性质5：S仆=S”+q%・推导如下：设首项为①，公比为q.若q=l,显然成立.若<7^b山(1一/")l—qMl—C1一§S”+g"S“=Y^(1-g"+q"-7"+")=y^(1-q"L")=S,“+“.此性质还可推导如下：Sm+n—+°2+•・•+d”+如+1+・・・+厂1+禺十加=S”+d]•q"+

5、d2・q"+d3，q"+…=Sn+qn(ci1+。2+…+0加)=s”+?%颌悟(6)｛如为等比数列OS=A/+B(A+B=0)・DIANXINGLITlUNGWU°题型一等比数列前“项和的有关计算问题【例题1】在等比数列｛偽｝中,己知S”=189,q=2,a”=96,求⑦和仏分析：已知a”，Sn，q，可列方程组求G］和n.反思：等比数列的前死项和公式中共有五个量:Sn,g,a„g,n.“知三求二”是常见题型,常用解方程组的方法求得，解方程组消元的策略是将所得方程相除.题型二等比数列前77项和的性质应用【例题2】在等比数列｛為｝中，

6、已知S“=48,S2n=60,求S3“.分析：用求和公式直接求解或用性质求解.反思：此类问题的解题通法是先利用等比数列前〃项和公式建立方程组，求出4和彳，再求解；这种方法思路自然清晰，但有时运算较为复杂，如本题解法一.如果能联想相关性质，运用性质求解，可以提高解题速度，减少解题时间，如木题解法二.特别是在客观题解答中，有时能起到事半功倍'之巧效.题型三实际应用问题【例题3】某地木年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加右⑴求"年内旅游业的总收入；(2)试估计大

7、约儿年后，旅游业的总收入超过8000万元.分析：(1)先证明这“年内每年的旅游业收入组成等比数列，转化为求等比数列前n项和；(2)利用(1)的结论，转化为解不等式.反思：1•解数列应用题的具体步骤是：(1)认真审题，理解题意，达到如下要求：①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题，还是等比数列问题，还是递推数列问题？是求禺，还是S”？特别要注意准确弄清项数为多少.②弄清题A中主要的己知事项.(2)抓住数量关系，联想所学的数学知识和数学方法，恰当地引入参数变量，并将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.(3)将实际

8、问题抽彖为数学问题，将已知与所求的量联系起来，并根据题意列出数学关系式.2.价格升降、细胞繁殖、利率、税率、增长率(如本题)等问题常归结为等比数列模型，即从实际背景中抽象出数学事实，归纳转化为数列问题去解决.题型四易错辨析【例题4】已