数学人教a版必修5二章2.5等比数列的前n项和

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1、2.5　等比数列的前n项和1．理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导方法．2．能利用等比数列的前n项和公式解决有关问题．3．掌握等比数列前n项和的性质及应用．等比数列的前n项和公式数列{an}是公比为q的等比数列，则当q＝1时，Sn＝____；当q≠1时，Sn＝＝________.(1)在运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意对公比q的讨论(q＝1或q≠1)．(2)当q≠1时，若已知a1及q，则用公式Sn＝较好；若已知an，则用公式Sn＝较好．【做一做】等比数列{an}的公比q＝2，首项a1＝2，则Sn等于(　　)A．n2＋nB．n2－nC．2n＋1－

2、2D．2n－1答案：na1　【做一做】C1．等比数列的前n项和公式与函数的关系剖析：①当公比q≠1时，我们已经求得等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝－·qn＋，设A＝，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，是n的正比例函数．②当q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是函数y＝－Aqx＋A图象上的一群孤立的点．当q＝1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比例函

3、数y＝a1x图象上的一群孤立的点．2．等比数列前n项和的性质剖析：等比数列{an}的公比为q，则有：(1)性质1：若某数列的前n项和公式为Sn＝－A·qn＋A(A≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．(2)性质2：在等比数列中，间隔相等、连续等长的片段和序列成等比数列．即Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn(q≠－1)．在运用性质(2)时，要注意的是Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列，而Sm，S2m，S3m不一定成等比数列．(3)性质3：在等比数列{an}中，当总项数为2n时，S偶＝qS奇．(4)性质

4、4：在等比数列{an}中，公比为q，则a1·a2·a3·…·an＝a·＝，(5)性质5：Sn＋m＝Sn＋qnSm.推导如下：设首项为a1，公比为q.若q＝1，显然成立．若q≠1，则Sm＋n＝，Sn＝，Sm＝，∴Sn＋qnSm＝(1－qn＋qn－qm＋n)＝(1－qm＋n)＝Sm＋n.[来源:学。科。网]此性质还可推导如下：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋an＋m－1＋an＋m＝Sn＋a1·qn＋a2·qn＋a3·qn＋…＋am·qn＝Sn＋qn(a1＋a2＋…＋am)＝Sn＋qnSm.(6){an}为等比数列Sn＝Aqn＋B(A＋B＝0)．

5、题型一等比数列前n项和的有关计算问题【例题1】在等比数列{an}中，已知Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n.分析：已知an，Sn，q，可列方程组求a1和n.反思：等比数列的前n项和公式中共有五个量：Sn，an，a1，q，n.“知三求二”是常见题型，常用解方程组的方法求得，解方程组消元的策略是将所得方程相除．题型二等比数列前n项和的性质应用【例题2】在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.分析：用求和公式直接求解或用性质求解．反思：此类问题的解题通法是先利用等比数列前n项和公式建立方程组，求出a1和q，再求解；这种方法思路自

6、然清晰，但有时运算较为复杂，如本题解法一．如果能联想相关性质，运用性质求解，可以提高解题速度，减少解题时间，如本题解法二．特别是在客观题解答中，有时能起到事半功倍之巧效．题型三实际应用问题【例题3】某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加.(1)求n年内旅游业的总收入；(2)试估计大约几年后，旅游业的总收入超过8000万元．分析：(1)先证明这n年内每年的旅游业收入组成等比数列，转化为求等比数列前n项和；(2)利用(1)的结论，转化为解不等式．反思：1.解数列应用题的具体步骤

7、是：(1)认真审题，理解题意，达到如下要求：①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题，还是等比数列问题，还是递推数列问题？是求an，还是Sn？特别要注意准确弄清项数为多少．②弄清题目中主要的已知事项．(2)抓住数量关系，联想所学的数学知识和数学方法，恰当地引入参数变量，并将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求的量联系起来，并根据题意列出数学关系式．2．价格升降、细胞繁殖、利率、税率、增长率(如本题)等问题常归结为等比数列模型，即从实际背景中抽象出数学事实，归纳转化为数列问题去解决．题型四易

8、错辨析【例题4】已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.错解：由