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《高二数学人教A必修5学案：25等比数列的前n项和一含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一第二章数列§2.5等比数列的前〃项和(一)【明目标、知重点】1.常握等比数列的前n项和公式及公式推导思路2会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.填要点•记疑点1.等比数列前〃项和公式：(狞1)(1)公式：sn=】_qi—q购(g=l)(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略g=l的情况.2.等比数列前〃项和公式的变式若匕｝是等比数列，且公比qHl，则前n项和Sfl=-^(-q,l)=A(qn-).其中人=说二3.错位相减法推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法.一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和.探要点•究所然［情境导学］国际象棋起源于
2、古代印度.相传国王要奖赏象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在象棋的第一个格子里放1颗麦粒，第二个格子放2颗麦粒，第三个格子放4颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子的两倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求”・国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦子的质量为40g,据查目前世界年度小麦产量约6亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.探究点一等比数列前77项和公式的推导思考1在情境导学中，如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么这个数列是怎样的一个数列？通项公式是什么？答所得数列为1,2,4,8,…，263.它首项为1,公比为2的等比
3、数列,通项公式为给=2“t・思考2在情境导学中，国王能否满足发明者要求的问题，可转化为一个怎样的数列问题？答转化为求通项为心=2“一】的等比数列前64项的和.思考3类比求等差数列前n项和的方法，能否用倒序相加法求数列1,2,4,8,…，2“的和?为什么?答不能用倒序相加法，因为对应各项相加后的和不相等.思考4如何求等比数列｛加的前n项和S”？答设等比数列仏”｝的首项是⑷，公比是g,前〃项和为S”.Sn写成：Sn=ci+aq+acf~aq~x.®则qSn=aq+aq2+,,a+aqnx+aqn.②由①一②得：（1—q）S〃=di—°心".当qH1时，S“=如（1一小1
4、一9当q—1时，由于a=^2=•••=cini所以Sn=na.小结（1）千粒麦子的质量约为40gJ.84X1019粒麦子相当于7000多亿吨，而目前世界年度小麦产量约6亿吨，所以国王是无法满足发明者要求的.0（2）等比数列｛禺｝的前〃项和S”可以用⑷，q,為表示为例1求下列等比数列前8项的和:111⑴刁孑乞•••；（2）。
5、=27,CU）=243，解（1）因为q=*,255256-*1-(訥所以S$=j1_2(2)由°
6、=27,的=243'可得243=又由qvO,可得§=一*.所以S尸1640TT-反思与感悟涉及等比数列前〃项和时，要先判断q=是否成立，防止因漏掉（7=1而出错
7、.跟踪训练1若等比数列｛為｝满足。2+。4=20,如+05=40,则公比q=；前斤项和S”=•答案22/:+1-2解析设等比数列的公比为q,由。2+。4=20,a3+d5=40.・・・20q=40,且。旳+4『=20,解之得q=2,豆G
8、=2.因此s”/（r"）=2”+i_2.i_q探究点二等比数列前斤项和的实际应用例2某商场今年销售汁算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今起，大约儿年可使总销售量达到30000台（结果保留到个位）？解根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同.所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列｛禺｝,其中67）=5000
9、,q=l+10%=l.l,Srt=30000.〒目h门5000（1-1.1"）于是得到一—=30000.两边取对数，得nlgLl=lgl.6.用计算器算得八=lgl.6lgl.10.20^0.041~5（年）・答大约5年可以使总销量达到30000台.反思与感悟解应用题先要认真阅读题目，尤其是一些关键词：“平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%”・理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题.跟踪训练2—个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？解用禺表
10、示热气球在第几分钟上升的高度，由题意，得冷+1=§為,因此，数列⑺”｝是首项©=25,公比q=j的等比数列.热气球在前〃分钟内上升的总高度为故这个热气球上升的高度不可能超过125m.探究点三错位相减法求和思考教材中推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法.这种方法也适用于一个等差数列｛為｝与一个等比数列｛仇｝对应项Z积构成的新数列求和.如何用错位相减法求数列｛詢前斤项和?则有*s“=*+寻耳丄+2“'2川十19两式相减,得n+2=2-2"例3求和：Srt=x
