等比数列的前n项和学案（人教A版必修5）.doc

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1、2.5　等比数列的前n项和材拓展1．等比数列的判定方法有以下几种(1)定义法：＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列；(2)通项公式法：an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列；(3)中项公式法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列；(4)前n项和法：若Sn＝A(qn－1)，(A≠0，q≠0且q≠1)则{an}是等比数列，其中A＝.例如：等比数列{an}的前n项和是Sn＝32－n－t，则t的值是________．解析　∵{an}是等比数列，∴Sn＝3

2、2－n－t＝9·n－t＝9，∴t＝9.答案　92．等比数列的通项公式(1)通项公式an＝a1qn－1(其中a1为等比数列{an}的首项，q为其公比)．(2)等比数列与函数的关系由通项公式an＝a1qn－1，可得an＝qn，当q>0，且q≠1时，y＝qx是一个指数函数，而y＝qx是一个不为零的常数与指数函数的积．因此等比数列{an}的图象是函数y＝qx的图象上的一些离散点．例如：已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，其公比q≠1，且bn>0，若a1＝b1，a11＝b11，则a6与b6的大小关系是__________．解析　∵bn>0

3、，∴b1>0，q>0.点(n，bn)分布在函数y＝qx的图象上．点(n，an)分布在函数y＝dx＋(a1－d)的图象上．当q>1时，它们的图象如图1所示；当01还是0b6.答案　a6>b63．等比数列的前n项和等比数列前n项和公式为Sn＝注意：等比数列前n项和公式有两种形式，运用该公式求和时，首先要判断公比q是否为1，再由q

4、的情况选择求和公式的形式，当公比q不确定时，要注意对q分q＝1和q≠1进行讨论．例如：1＋a＋a2＋…＋an－1＝____________________.(其中a≠0)答案　4．等比数列的常用性质在等比数列{an}中，(1)对任意的正整数m，n，有an＝amqn－m.(2)对于任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，则有am·an＝ap·aq.(3)当或时，{an}是递增数列；当或时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}为常数列；当q<0时，{an}为摆动数列．(4)若Sn为等比数列的前n项和，则Sk，S2k－Sk，S3k－

5、S2k，…，S(m＋1)k－Smk，…成等比数列(q≠－1或k为奇数)．(5)若Sn表示等比数列的前n项和，公比为q，则有Sm＋n＝Sm＋qmSn.例如：在等比数列{an}中，a5＝7，a8＝56，则通项an＝____________.解析　a8＝a5q3，∴q3＝8，q＝2，∴an＝a5qn－5＝7×2n－5.答案　7×2n－5法突破一、等比数列的判断与证明方法链接：证明数列是等比数列常用的方法：①定义法：＝q(常数)；②等比中项法：a＝anan＋2(an≠0，n∈N*)；③通项法：an＝a1qn－1(a1q≠0，n∈N*)要证明一个

6、数列不是等比数列，只需证明相邻三项不成等比即可．例如：a1a3≠a.例1　已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．(1)对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；(2)试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．(1)证明　假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a＝a1a3，即2＝λ⇔λ2－4λ＋9＝λ2－4λ⇔9＝0，矛盾．所以{an}不是等比数列．(2)解　因为bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n

7、＋1＝－(－1)n·(an－3n＋21)＝－bn，又b1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，bn＝0(n∈N*)，此时{bn}不是等比数列；当λ≠－18时，b1＝－(λ＋18)≠0，由上可知bn≠0，所以＝－(n∈N*)．故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－为公比的等比数列．综上，λ＝－18时，{bn}不是等比数列；λ≠－18时，{bn}是等比数列．二、等比数列基本量运算方法链接：在等比数列{an}的通项公式和前n项和公式中共有五个量：a1，q，n，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程组求出另外两个量．例

8、2　设数列{an}为等比数列，且a1>0，它的前n项和为80，且其中数值最大的项为54，前2n项的和为6560.求此数列的通项公式．分析　因为前n项和与2n项和已知，这为建立方程提供了条件，由此可求得首项a