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《中考数学复习指导：活用中点构造全等三角形》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、活用中点构造全等三角形《屮小学数学课程标准》指出，在数学教学中，要重视学生对所学知识的反思，利用分层次和多样化的训练，特别重视变式训练，让学生能够懂得从特殊到一般、从一般到特殊以及转化等思维策略.本文就等腰三角形“三线合一定理”作拓展探索研究.“三线合一”定理，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.己知:如图1,VABC中，AB=AC,求证:BC的中线、高和ABAC平分线互相重合.证明作底边BC的中线AD.QAB=AC,BD=CD,AD是公共边，:NABD三VACD・・・ZBAD=ZCADZBDA=ZCDA=9Q°:.BC的中线、高和ABAC平分线互相
2、重合.变式1（条件之间的变化）如图1,NABC+AD是BC的屮线，ZBAD=ZCAD,求证:=AC图1图2证明延长线段AD到E点，使AD=DE.QAD=DE,BD=CD,ZADC=ZBDE:NADC决EDB••・AC=BE,ABED=ACADQZBAD=ZCAD:.ZBED=ZBAD・•・BA=BE・•・AB=AC变式2（图形变化妆口图2,已知BD=CD,ABED=ACAD,求证;EB=AC证明延长线段AD到F点，使AD=DF.QAD=DF,BD=CD,ZADC=ZBDF:NADCaVFDB•・・AC=FB,ZBFD=ZCADQABED=ACAD:.ABED=ZBFD・•・
3、FB=EB・・・EB=AC变式3（结论变化）如图3,已知VABC中，AD是的中线，求证:AB+AC>2AD.图3证明延长线段AD到E点，使AD=DE.QAD二DE,BD=CD,ZADC=ZBDE:NADC三YEDB・・・AC=BEQAB+BE>AE:.AB+AC>2AD注以上三个变式中，图形虽有一定的变化，证明的结论也有变化，但是利用线段的中点作加倍延长线构建全等三角形来解决问题的方法是一致的，体现了由特殊到一般的思想.下面进一步举例说明利用线段的中点构建全等三角形的多种形式.一、运用倍长中线构建全等三角形例1如图4ADf是3C边上的中线，ZDAC=ZEAC,ZE=ABAD
4、,求证：AB=CE分析紧紧抓住中线的条件，通过延长线段延长线段AD到F点，使AD=DF,构封BDFaVCDA.证明延长线段AD到F点，使AD=DF・QAD=DF,BD=CD,ZADC=ZBDF:NADC三VFDB・・・AC=FB,ZBFD=ZCADQZCA£=ZCAZ)・・・ZBFD=ZCAEQZE=ZBAD,AC=FB:NBAFaVCEA・••AB=CE二、运用作平行线构建全等三角形例2如图5,已知CD=BD,BE=CF,求证:=图5分析本题若直接证明VBDE:7FCD,会发现对应边不对.而抓住中线的条件，如何作辅助线是关键.本题只提供了一个角的条件，如果作延长线，则会破
5、坏AE和AF,而过点C作CGIIBE,则可以得到7BDEaVCDG・证明过点C作CGHBE交EF于点G.QCG//BE・・・ZB=ZDCGQZEDB=ZCDG,BD=CD:NBDE三VCDG・•・BE=CGQBE=CF・••CF=CG・・・ZF=ZCGFQCG//BE:.ZAEF=ZCGF:.ZAEF=ZF・•・AE=AF三、运用模型构建全等三角形例3如图6,已知=90°,AC=BC,CD=BD,AD丄CF交AD于点E,连结DF,求iiE：ZFDB=ZADC.图6分析此题可借鉴下列由直角VABC和直角VDEF构成的模型(见图7(1)~图7(5)：证明如图6,过B点作G3丄B
6、C,交CF的延长线于点G.QZACB=90°,AD丄CF,-.ZFCB+ZACF=90°,ZCAD+ZACF=90°••・乙CAD=ZFCBQAC=BC:NACD三VCBG・・・CD=BG,ZG=ZADCQBD=CD=BG,ZGBF=ZFBC=45。,BF是公共边,:NBDF三VBGF・・・ZG=ZBDF・・・ZFDB=ZADC数学是研究数量关系和空间形式的科学.学生通过数学学习，掌握数学的基础知识、基本技能和思想方法，学会有条理地思考和简明清晰地表达思考过程，并运用数学的思想方法分析问题和解决问题，能培养学生的抽象能力、推理能力、创造能力•我们在教学过程中，要让学生体会到
7、数学之美，做到授生以渔，而非授生以鱼，就能在数学教学中达到事半功倍的效果.
