中考数学复习指导：构造全等三角形求解几何题

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1、构造全等三角形求解几何题在解决几何问题吋，如果我们能够根据图形特征，通过添加辅助线构造全等三角形，并利用全等图形的性质，不仅可使问题迎刃而解，而且有助于创新思维的培养，提高数学思维能力和分析能力，现举儿例供大家参考.一、有角平分线时常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形例1如图1,AABC中，AD是ZA的平分线，且ZC=2ZB,求证：AB=AC+CD.分析要证明AB=AC+CD,需把不在一-条直线上的两条线段AC、CD转化到同一条线段AB上，为此要借助全等三角形或等腰三角形的有关性质来解决问题.证明在AB上截取AE=AC,连结DE.v

2、AD是乙4的平分线，/.乙BAD=Z_CAD.在ZUED和△MCD中，fAE二AC9乙EAD=乙CAD,AD=AD,・・.AAEDwAACD,/.DE=CD,乙AED=厶C=2Z_B・又乙AED是的外角，・•・乙AED=乙3+乙BDE=2乙B,乙BDE=厶B,BE=DE,BE=CD.・・・AB=AE+BE=AC+CD.即AB=AC+CD・点评当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截相等的线段，构造全等三角形,为证明创造相等条件.二、三角形中出现中线吋常加倍中线，构造全等三角形例2在ZABC中,AB=5,AC=3,则BC边上的中线AD的长

3、的取值范围是分析确定中线AD的长的取值范阖必然和AABC的两边AB、AC的长有联系，这就使我们联想到三角形的三边关系定理：“两边之和大于第三边且两边之差小于第三边.”而线段AB、AC、AD不在同一三角形屮，因此需要把它们转化到同一三角形屮.%E图2解析如图2,延长AD到点E,使DE=AD,连结BE.可证得△BED^ACAD,・・・BE=AC=3.由三角形的三边关系定理，知AB—BEvAE

4、中线时，常加倍中线构造全等三角形，把分散的条件集中，为解决问题创造有利条件.三、有以线段中点为端点的线段吋，常加倍此线段构造全等三角形例3如图3,在ZABC的边AB上取一点E,在CA的延长线上取一点D,使AD=AE,且DE的延长线经过BC的中点F.求证：EB=CD.D分析在已知图形中没有以BE、CD为一对对边的全等三角形，因此，必须通过添加适当的辅助线，构成全等三角形，将BE、CD转化到同一个三角形中，利用等腰三角形的性质来证.证法一延长DF到点G,使FC=DF,连结BG（如图4）.易证△BFG^ACFD,・・・BG=CD.欲证EB=C

5、D,只需证BG=BE,为此，只需证ZBEG=ZC.具体证明过程请同学们自行完成，证法二延长EF到点G,使FG=EF,连结CG（如图5）.证明思路与证法一相同，证明略.点评当涉及到以线段中点为端点的线段时，对通过加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散条件集中.在本题中，我们也可直接构造全等三角形证明EB=CD.方法有两种：过点B作BC交DF的延长线于点G（如图6）,使ZEBC=ZDCF,只需证△EBG^ADCF即可；或过点C作CG交DF于点G（如图7）,使ZDCG=ZEBF,只需证ADCG^AEBF即可.D图6DB图7四、截K补短法构造全等

6、三角形例4（同例1）：证法1在AC的延长线上取一点E,使AE=AB,连结DE（如图8）.在AABD和AAED中，由“边角边”可证得AABD^AAED,故ZE=ZB・然后再证CD=CE即可.证法2在AC的延长线上取一点E,使CE=CD,连结D玖如图8）.只要证tBAABD^AAED即可.点评在解线段和差问题时，可采用“截长补短”作辅助线的方法，构造全等三角形,借助全等三角形的对应边相等，将不在一条直线的两条（或几条）线段转化到同一直线上,使解决问题的思路清晰明朗.五、有高吋常以高线为对称轴将图形对折，构造全等三角形例5如图9,在AABC中，

7、ZC=2ZB.AD是高.求证：AC=BD—CD.A证法1在线段DB±取一点E,使DE=CD,连结AE（如图9）.,可证得AACD今AAED.・・・AE=AC.ZAED=ZC.又ZC=2ZB.ZAED=ZB+ZBAE,・ZB=ZBAE,・・・AE=BE,ABE=AC.又BE=BD-DE,・・・AC=BD-CD.证法2在BC的延长线上取一点E,使DE=BD,连结AE（如图10）.以下证明由同学们完成.点评当题中以三角形的高线为条件时，常以高线为对称轴将图形对折，构造全等三角形，这样可使分散的条件集中起来.