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《中考数学复习指导：利用方程思想求解几何计算问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、利用方程思想求解几何计算问题近年各地中考中的几何计算问题，融几何推理与代数运算于一体，赋予了几何图形丰富的动态背景(或点、线、面的运动元素，或图形的变换)，融进了儿何核心知识(全等、相似、锐角三角函数、勾股定理等).而相似图形屮边与边的比例关系式，锐角三角函数中边与角的关系表达式，面积与边的关系表达式，勾股定理中边与边之间的关系式，以及几何量之间存在的等量关系式等，都具备了方程的特性，它们是运用方程解决几何计算问题的基础.试题如图1,在矩形ABCD«
2、',把ZB.ZD分别翻折，使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN.(1)求证：△ADN^Zk
3、CBM；(2)请连结MF、NE,证明四边形MFNE是平行四边形；四边形MFNE是菱形吗？请说明理由；(3)点P、Q是矩形的边CD、AB±的两点，连结PQ、CQ、MN,如图2所示.若PQ=CQ,PQ〃MN,且AB=4cm,BC=3cm,求PC的长度.分析本题第(3)问关于儿何量的计算问题，包含两个对称翻折变换的模型，应充分借助图形翻折变换的背景挖掘翻折变换性质，根据解题需要，利用儿何知识如全等、相似、锐角三角函数、勾股定理、面枳的儿何意义等建立已知与未知之间的边与边、边与角之间关系方程•要求PC,须先求出与之关联密切AM与BM(或CN与DN),再过渡到相关的图形中求PC
4、.因此，求解的思路应分两步，第一步：求AM与BM(或CN与DN).解法一由（2）知,DN=NF^D=ANFA=90。，则乙NFC=90°.又厶DCA=厶FCN,NFAD•••・AS△%・・・需魄.又4C=用+3?=5,设DN=孙则7VF=xtCN=4-%,则宀=手,解得％=15.4-x5则有7VF=DN二BM=1.5,NC=AM=2.5.评注本解法的关键是，找到两个三角形相似的元素，和通过三角形相似转化建立边与边之间的比例关系式方程.解法二由矩形性质和翻折变换性质可知，厶D=乙NFC=90°.在Rt/UCD和Rt厶NCF中,sinAACDNFAD3NC一AC一5'设D
5、N=兀，则NF=x,CN=4-x,则4J■j•，解得％=1.5.则有NC=AM=2.5.评注本解法的关键是，将两个关联的直角三角形的锐角三角函数（即边与角的关系）转化为两个直角三角形边之间的比例关系.解法三如图3,设AC与MN的交点为O,EF=x.图3*.*AB=4,BC=3,AC=5.由(1)知,AF二CE=BC二3,・•.2AF-EF==5,得兀=1,EF=1,AE=2.设=y,则MEBM=y.AM=4-y.在Rt^AEM中，由勾股定理，得(4-y)2-y=22,得y=1.5,/.DN=BM二L5,AM=NC=2.5.评注本解法的关键是，并利用直线AC上相关线段间
6、的和差关系建立方程，并求得AE（或CF）・这样，为在RtAAEM'P运用勾股定理建立方程求AM（或CN）创造了条件.解法四设BM=x,则ME=x,•*S心CM+S4BCM~~2~^^ABCD,即-—AC・ME+・BC=•BC,艮卩*•5%+*•3兀=*~•4•3,解得兀=1.5,.•・CN=AM=2.5.评注本解法关键是，利用两个关联三角形的面积之和是矩形面积一半的关系列方程.AnAC解法五由折輕可知，AN是ZDAC的角平分线，则型=竺.DNCN设DN=x,则CN=4—x,•••—=;^丄■，解得兀=1-5.x4-xDN=BM=1.5,AM=NC=2.5.评注本解法运
7、用角平分线的性质巧妙地将关联的两个三角形的边联系起來，构造出线段之间的比例式方程.解法六如图3,设AC与MN的交点为O,EF=x・•••AB=4,BC=3AC=5・由（1）知,AF=CE=BC=3,2AF-EF=.4C,即6-x=5,得尤=1,.・.EF=CF=2.在Ri^CFN中，,/woNFNFtan/.NCF=—=―;在Rt^ABC中，•/uEC3tanABAC=—=—.AB4•••厶NCFNFCFBCNF3即子=未解得NF=1.5.•••DN=BM=NF=1.5,AM=NC=2.5.评注本解法关键是，利用线段AC上存在的等量关系构造方程求出CF,再将两个有相等
8、锐角的直角三角形边与角Z间的关系转化为比例式，由此求出DN和CN.第二步：求PC.解法一如图4,过点Q作QG丄CD于点G.•••PQ=CQ,「.CG=PG=BQ.设BQ=y,则PC=2y,MQ二PN=L5-y.PC+PN=CN=2.5,.・.2y+(1.5-y)=2.5,解得y=1.PC=2y=2(cm).评注本解法关键是通过作等腰APCQ底边上的高，利用等腰三角形和平行四边形性质，用代数式表示出几个有关联的线段，进而利用关联的等腰APCQ的底PC和平行四边形PNMQ的底PN与CN之I'可存在的等量关系列方程.解法二如图4,过点Q作QG丄CD于点G,
