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《中考数学复习---利用几何变换求解多动点线段和的最值问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、多动点产生的线段和的最值问题，涉及的知识面广，表现形式灵活，已成为屮考的热点,也是考生颇感困惑的问题之一历年来，虽经命题者不断更新变化、赋予新意，但万变不离其宗，解题存在一定的规律与技巧，一般就是通过化归，利用对称、平移、旋转等儿何变换,将相关线段转化到同一条直线上，达到化折为直的目的，再根据模型1——垂线段最短，或模型2—一两点之间线段最短來求解.下面就不同情形举例分析.一、求两动点到一定点距离和的最小值此类问题一般借助轴对称变换，将定点所在直线同侧的两个动点中的一个对称变换至直线的另一侧，利用模型1、2求解.
2、例1如图1,菱形ABCD的边长为4,ZB=60°.E为BC上的一动点，F为上的一动点，P为4C上一个定点，则PE+PF的最小值为.解析如图2,根据菱形的对称性作点F关于AC的对称点许，连结P片,则有PE+PF=PE+PF「所以，当点E、P、£三点共线且垂直BC时PE+PF最小.作AG丄点G,所以PE+PF的最小值即为AG为长.因为菱形ABCD的边长为4,=60°,所以BE=2,AG=2羽,从而PE+PF的最小值为2^3.二、求两动点与一定点构成的三角形周长的最小值此类问题仍是借助轴对称变换，作定点关丁-两动点所在
3、定直线的对称点，使两动点在两对称点的折线段上，利用模型2求解.例2如图3,ZAOB=45°,P是内一点，PO=10,Q、R分別是0A和0〃上的动点，求VPQR周长的最小值.解析如图4,分别作点P关于0A,的对称点C,D,连结CD,则PR+PQ+RQ'CD,当Q、/?在线段CD上时，VPQR周长最小.因为ZC0D=2ZA0B=90°,OC=OD=OP=W,所以CD=迥OC= 近,则VPQR周长的最小值为10^2.三、求两动点与两定点构成的四边形周长的最小值此类问题首先要转化为求两动点分别到两定点距离和的最小值，然
4、后仿上述例1解法求解.例3如图5,在平面角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，Q4=3,OB=4fD为边OB的屮点.若E、F为边04上的两个动点，且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.RcRCDD/11;;:'11h10EF'Ax0:EFAxJ1图5图6解析如图6,作点D关于兀轴的对称点则0D}=0D=—=2,^(0,-2)2将点C向左平移2个单位(EF=2)到G点，定点D、C分别到动点E、F的距离和等于为定点0、G到动点E的距离和，即DE+CF=
5、DE+C、E,从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”即模型2的类型.连结交兀轴于点E，四边形EFCG为平行四边形，此时DE+CF=DE+CE=DG值最小，则四边形CDEF的周长最小.由0(0,-2).C,(l,4)117可求直线9G解析式为y=6x-2.当y=0时，兀二一，即E(—,0),则F(—,0).四、求两动点到另一动点距离和的最小值一般借助轴对称变换，将某一动点所在直线同侧的两个动点中的一个对称变换至直线的另一侧，利用模型1、2求解.例4如图7,菱形ABCD中AB=3,ZA
6、=60°,0A.OB的半径分别为2和1,P、E、F分别是边CD、G)A和OB上的动点，求PE+PF的最小值.解析如图8,与上例类似，仍然要作某一动点(P)所在直线(CD)同侧的两个动点(£、F)中的一个对称变换至直线的另一侧，不妨选F,但考虑到F是圆上动点，因此作菱形ABCD和G)B的对称图形B,CD和OB「根据题意和菱形以及轴对称图形的性质，可知A、D、冋三点共线，PF=PF「欲求PE+PF的最小值，即求PE+PF、的最小值，所以当PA+PB(最小时，PE+PF、的最小值为：PA+PB}-AE-BF}=PA+
7、PB}-3显然，点P运动到D时，PA+PB、最小值为6,所以PE十PF的最小值是3.五、求三动点构成的三角形周长的最小值三动点三角形周长最小值问题一般较难，没有固定的解题模式，关键是要灵活使用基本模型将问题转化，通常是根据轴对称性质，将周长转化成动点为端点的折线段，然后再利用模型1,设法固定一个动点，将问题转化成双动点线段长最值问题，最后根据模型2求解.例5如图9,在平面直角坐标系中，已知A(0,2),B(-3,0),C(l,0)・点P是线段BC上的动点(点P不与B、C重合)，点Q是线段AB上动点(点Q不与A、B
8、重合），点/?是线段AC上动点（点/?不与A、C重合），求VPQR周长的最小值.解析如图10,不妨作P关于AB的对称点交AB于G,作P关于AC的对称点鬥，交4C于H,连结P}Q.P2R.AP}.AP2.由对称性可知：hpQR=RQ+QR+p?R，当/v巴R最小时，片、Q、R、鬥四点共线，即Q、/?分别为片呂与边AB.AC的交点，Rpqr的最小值为由对称性可知AP[=AP=
