探究动点背景下的线段最值问题

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1、探究动点背景下的线段最值问题本文以一道中考试题为例，探讨动点背景下线段最值问题的常用方法，供参考.题目（2016年三明中考题）如图1,等边ABC中，AB=4fP是BC边上的动点,点、P关于AB、AC的对称点分別是M、N,则线段MV长的取值范围是.N分析要求线段MN长的取值范围，首先要解决与长相关联量的问题.若连结PM,PN,分别与AE,AC边相交于点D,E,由轴对称的性质可知，ABfAC分别垂直平分线段PM,PN,即D,E分别为PM,PN的中点，因此，DE为APMN的中位线，所以有MN=2DE.这样，就将MN长的取值范围问题转化为求DE的取值范围问题了.方法

2、一特殊位置猜想法特殊位置法是指通过对动点位于特殊点时，对线段长度值发生的变化作出分析，判断线段长度的取值范围.解析本题屮动点P的运动路径为线段BC.如果考虑运动的端点，也就是点P与点3或点C重合时（此时点M、N分别与点B、点C重合），不难发现此时MV的长即为等边AABC高的2倍，即4巧.当点P为BC边中点时（如图3）,连结PM,PN分别交AB,AC于点D,E,此时APMN为顶角为120°的等腰三角形.不难计算出==,根据对称性得到PM=PN=2羽,从而底边DE=V3PD=3.而通过点P取异于这三点的任何一个位置,DE的长都介于图2与图4中的长度之间，故可以确定

3、MN长的取值范圉是点评此种方法适用于题干条件比较简单、且为直线型变量取值范围的确定.由于操作的局限性，结果的進确性难以保证，往往需要采用其他方法对猜想进行严密的推算.方法二图示比较法.图示比较法，是指将所需确定取值范围线段置于三角形或四边形中，借助于“两点之间线段最短”、“垂线段最短”等基本事实，判断其取值范围.解析如图5,若设BP=x,在APDE屮，显然有DE5PD+PE.不难得到PE=£(4-兀)，从而得到Z)E<—x+—(4-%)=2V3.在在图6中,222PG斗吩討f分别过点AE作直线BC的垂线，垂足为F、G,则有"=寸,DE>FG=PF+PG=-x+

4、-(4-x)=3.44同样，DEW2羽,因此，6

5、P分别与B、C点重合y=DE2有最大值2巧，当x=2时(此时点P为3C边的屮点).y=DE2有最小值3,故有35DE52晶,所以6WMN54舲.或者在图9中，过点E作直线^的垂线，垂足为K,则P”亍,’EPK"由锐角三角函数可以求出吩中一)，23EK=—(4—劝，在直角三角形DKN中，运用勾股定理同样可以求得DF=_(%_2)2+934(0

6、标的函数关系式,然后确定所求元素的取值范围.解析如图10,建立平面直角坐标系，设点P的坐标为(兀,0),利用锐角三角函数不难表示出D,E两点的坐标分别为D—E((3--,—(4-x)),根据两点之间44443的距离公式，可以求得DE2=-(x-2)2+9(0