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1、——二次函数背景下的线段最值问题漳州康桥学校九年级吴瑕(2015•漳州卷第25题)如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,请解决下列问题.(1)填空:点C的坐标为(,),点D的坐标为(,);(2)设点P的坐标为(a,0),当
2、PD﹣PC
3、最大时,求a的值并在图中标出点P的位置;如图,抛物线与x轴交于点A和点B(3,0),与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)若点M是抛物线在x轴下方上的动点,过点M作MN//y轴交直线BC于点N,求线段MN的最大值;(2016•漳州卷第24题)学习目标
4、知识目标:掌握几何中的几个重要定理及二次函数的有关知识,根据问题建构数学模型,解决二次函数背景下的线段和、差等最值问题。能力目标:通过观察、分析、对比等方法,提高学生分析问题,解决问题的能力,进一步强化分类归纳综合的思想,提高综合能力。情感目标:通过自己的参与和教师的指导,体会及感悟化归与转化、数形结合、数学建模等数学思想方法,享受学习数学的快乐,提高应用数学的能力。“将军饮马”问题模型一已知:如图,A(-1,0),B(3,0),C(0,3),抛物线经过点A、B、C,抛物线的顶点为D.⑴求解析式和抛物线的顶点D;模型应用模型应用(
5、2)点P在对称轴上,PA+PC取最小值时,求点P的坐标;变式:点P在对称轴上,△PAC周长最小,求点P的坐标;【思维点拨】要使△PAC的周长最小,已知AC为定值,只需求一点P使得PA+PC最小即可.步骤归纳:1)找对称点2)连线并求直线解析式3)求点坐标P模型二:lABP′在△P‘AB中P’A-P’B<AB∵PA-PB=AB∴P‘A-P’B<PA-PB探究二问题:在直线l上,找出一点P,使
6、PA-PB
7、的值最大。基本解法:使A、B、P三点共线基本原理:三角形两边之差小于第三边基本思想:转化(化折为直)模型应用(3)点P在对称轴上,
8、
9、PA-PC
10、最大,求点P的坐标;分析:第一步,应用模型找到点P的位置;第二步,求直线AC的解析式;第三步,将P点横坐标代入直线BC的解析式求出其纵坐标。变式训练(4)点P在对称轴上,
11、PA-PC
12、最小,求点P的坐标;分析:第一步,找点P。要使
13、PA-PC
14、最小,只要PA=PC即可,由线段垂直平分线的逆定理可知:点P在线段AC的垂直平分线上,因此线段AC垂直平分线与对称轴的交点即为所求的点P。第二步,解析法或几何法求点P的坐标。变式训练(5)点P在线段BC上,PA取最小值时,求点P的坐标;分析:第一步,找点P,利用直线外一点与直线
15、上各点连接的所有线段中,垂线段最短。第二步,解析法或几何法求点P的坐标。链接中考(2015•漳州)如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,请解决下列问题.(1)填空:点C的坐标为(,),点D的坐标为(,);(2)设点P的坐标为(a,0),当
16、PD﹣PC
17、最大时,求a的值并在图中标出点P的位置;∴C(0,3),D(1,4)0314规范答题不失分解:∵在三角形中两边之差小于第三边,∴延长DC交x轴于点P,设直线DC的解析式为y=kx+b,把D、C两点坐标代入可得,解得,∴直线DC的解析式为y=x+3,将点
18、P的坐标(a,0)代入得a+3=0,求得a=﹣3,如图1,点P(﹣3,0)即为所求(2)设点P的坐标为(a,0),当
19、PD﹣PC
20、最大时,求a的值并在图中标出点P的位置;探究三(6)点P在第一象限的抛物线上,PQ⊥x轴交BC于Q,求PQ的最大值;分析:第一步,设P点的坐标;第二步,求直线BC的解析式,得Q点坐标;第三步,利用线段与点坐标之间的关系,得线段PQ的函数关系式,最后求出最值。竖直线段水平线段x1-x2AB=AB=y1-y2(纵坐标相减)(横坐标相减)上减下右减左=y1-y2=x2-x1函数模型链接中考(2016•漳州)如
21、图,抛物线与x轴交于点A和点B(3,0),与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)若点M是抛物线在x轴下方上的动点,过点M作MN//y轴交直线BC于点N,求线段MN的最大值;解:(1)将点B(3,0)、C(0,3)代入抛物线中,得:,解得:∴抛物线的解析式为链接中考(2)若点M是抛物线在x轴下方上的动点,过点M作MN//y轴交直线BC于点N,求线段MN的最大值;∵MN∥y轴,∴点N的坐标为∵抛物线的解析式为∴抛物线的对称轴为∴点(1,0)在抛物线的图象上,∴1<m<3.∵线段解:设点M的坐标为设直线BC的解析式为,
22、把点B(3,0)代入,得:∴直线BC的解析式为∴当时,线段MN取最大值,最大值为 .今天我们研究了什么?我们得到了哪些成果?在研究过程中有何体会?研线段最值问题,展其本质学数学知识方法,取其精髓不变应万变学习梳理归纳方法,小结心得1.线段和(或