中考数学复习总结指导：利用辅助圆求解动点最值问题教师版

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1、利用辅助圆求解动点最值问题许多几何问题虽然与圆无关，但是如果能结合条件补作辅助圆，就能利用圆的有关性质、结论,将某些最值问题通过圆屮的儿何模型求解.归纳为以下情况可考虑作辅助圆：一、同一端点出发的等长线段（翻折问题）模型1如图3,点A在。0外，A到（DO上各点连线段中AB最短；如图4,点A在O0内，A到O0上各点连线段小AB最短.证明在OO上任取一点C,不与点B重合，连结CA,CO,如图3./0C+CA>OA,0C=0B,CA>AB，得证•如图4,'OC-OA

2、心，等长为半径构造圆，将原问题转化为定点与圆上点的距离问题.例1如图①，菱形ABCD的边长为2,ZABC=60°，点E是AD边的屮点，F是CD上的动点，将ADEF沿EF折叠，点D落在P处，则线段BP最短时的长度为例2如图1,在直角梯形ABCD中，ZDAB=ZABC=90°,AD=3,AB=4,BC=6,点E是线段上一动点，将4EBC沿CE翻折到△EB'C,進SB'DB'A.当点E在AB上运动时,分别求BDB'A,B'D+BrA的最小值.B图1B图2解析如图1,当点E在点B时，与B重合;当点E在点A时，设点B'在点F处，由翻折可知BC=BfC=FC.所以，点B'在以C为

3、圆心，BC为半径的圆上，运动轨迹为弧BF.如图2,点D在OC内，延长CD交OC于点3.当点在点$时B7）最小，最小值为B、C-DC=1・点人在©C外，设AC交OC于点艮，当点3’在点艮时35最小，最小值为JJAC-B2C=2VT-6.设AD与OC交点为艮，当点B'在点、B.3时B'D+B'A最小，最小值为AD=3.二、动点对定线段所张的角为定值模型2如图5,AB为定线段，点C为AB外一动点，ZACB为定值，则点C形成的轨迹是弧ACB、弧AmB（不含点A,B）.证明设。0为MBC的外接圆，在AB上方任取三点，点D,E,F分別在OO夕卜、00上、00内.ZD

4、ZC,ZE=ZC,ZAFB>ZH=ZC9・•・当ZACB为定值时，点C形成的轨迹是弧ACB、弧ADB（不含点）.1•动点时定线段所张的角为直角例2如图6正方形ABCD边长为2点E是正方形ABCD内一动点，ZAEB=90°,连结DE,求DE的最小值.解析'：ZAEB=90AB为定线段，由模型2可知，点E在以为直径的圆上.连OD交OO于点F,由模型1,当E在点F处时DE最短，最小值是V5-1.点评当动点对定线段所张的角为直角时，根据直径所对圆周角为直角，以定线段为直径构造圆.例3如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF・连接CF交BD于G,连接BE

5、交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是・2•动点时定线段所张的角为锐角例3如图7,ZXOr=45°,一把直角三角形尺ABC的两个顶点人B分别在0X,0丫上移动，AB=10,求点0到43距离的最大值.oBY图7解析如图&0D为AABO的外接圆，由模型2知，点O的运动轨迹是弧AOB（A,B两点除外）.过点D作A3的垂线，垂足为点E,交弧于点F,当点O在点F处时，O到的距离最大，即为FE长.:ZXOY=45°,ZADB=90°.AB=10.:.FD=AD=DB=5^2,DE=5,:.FE=5^2+5.故O到AB距离的最大值为5血+5・点评本题AB是定长，

6、ZXOY为定值，利用模型2,找到点O的运动轨迹是一段弧,这段弧所在的圆是一个定圆，于是原问题转化为圆上一点到弦的距离问题.例4如图，正方形ABCD的中心为0,面积为676cm2,P为正方形内一点，且ZOPB二45°,PA：PB=5：12,则PB的长为?模型3如图9,A3是的一条弦，点C是©0±一动点（不与A,B重合），过点0作DE丄AB,垂足为D,交OO于点E（E,D在O两侧）.当点C在点E处时，点C到A3的距离最大，即为DE长.证明如图9,作CF丄人3垂足为点F,CF

7、C边长为2,射线AD//BC，点E是射线AD上一动点（不与点A重合），MEC外接圆交于点F,求AF的最小值.解析如图10,・・2£/1=乙£人€?=60。,・・・/8尸（7=120。.•・•BC为定长，.•.点F的运动轨迹是弧BC（不与B,C重合）.过点A作AG丄BC垂足为G,交弧BC于点H,当点F在点H时AF最小，最小值为AG-HG=品-旦=迅.33点评本题将动点E转化到动点F,且因为ZBFC=120°,BC为定长，由模型2可知，点F的运动轨迹是弧，这段弧所在的圆是一个定圆.于是，AF的最小值问题转化为圆外一点到圆上一点的最小值问题，由模型1即可求