高中数学北师大版选修2-3学案：151二项式定理含解析

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1、§5二项式定理5.1二项式定理一学习目标导航II—1.能用计数原理证明二项式定理.（难点）2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.（难点）阶段1,认知预习质疑（知识梳理要点初探］［基础•初探］教材整理二项式定理阅读教材P23〜P24“例1”以上部分，完成下列问题.1.二项式定理：（cz+»=.【答案】c%"+b+・・・+Cnan-rbr+…+C妙2.二项式系数：.【答案】C；（厂=0丄2,…，n）3.二项式通项：,即二项展开式的第项.【答案】詁万r+14.在二项式定理中，如果设a=,b=x,则得到公式：（1+兀）”=【答案】1+ci%+c衣2—c；#—*o微体验—判断（正

2、确的打“J”，错误的打“x”）（i）（a+b）“展开式中共有比项.（）(2)在公式中，交换°,方的顺序对各项没有影响.()(3)C够是(a+b)"展开式中的第k项.()(4)(g—历"与(d+b)"的二项式展开式的二项式系数相同・()【解析】(1)X因为(a+b)n展开式中共有斤+1项.(2)X因为二项式的第R+1项^an~kbk和(b+d)“的展开式的第R+1项C^bn'kak是不同的，其中的方是不能随便交换的.(3)X因为©严炉是(d+b)“展开式中的第k+项.(4)7因为⑺一仍"与(a+b)n的二项式展开式的二项式系数都是C；【答案】(1)X(2)X(3)X(4)V［质疑•手

3、记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：阶段2介作探究通关分组讨论疑难细究)［小组合作型］«S1二项式定理的正用、逆用»例(1)用二项式定理展开(2x—守j；⑵化简：C怎+1)”—C怎+l)i+C檢+1)1-…+(-1)乞檢+1)宀+・・・+(T)"C；；.【精彩点拨】(1)二项式的指数为5,且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把兀+1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解.【自主解答】(1)(2%-別5=&(2兀)5+c2(2x)4(—和+…+©(—守寸5=32?_120,+180135,=_丁+40

4、524?8Z_32x10(1)原式=C*兀+1)"+C怎+I)"】(一1)+C„(X+1)W_2(-1)(1)求二项式(2&—少的展开式中第§项的二项式系数和第§项的系数;+«*•+C„(X+1-i/+-+c；;(-iy-[(x+i)+(-i)r=z.名师霾J1.展开二项式可以按照二项式定理进行.展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件.2.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.3.对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用.对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数，各项幕指数的规律以及各项的系数.［再练一题］1.⑴求(3心+±)的展

5、开式；⑵化简：l+2U+4&+・・・+2"C；：.【解】(1)法一：卜心+±)=C%3&r+C】(3&)3•土+&(3侗•(仙40121=81f+108x+54+〒+-lXX法二(3x+l)4=A(81x4+108?+54?+12x+1)=81/+108x+54+—+A.«/VJi(2)原式=1+2C+22C^+…+2"C；：=(1+2)"=3".

6、

7、i

8、・•・％=—12•久1・；第6项的二项式系数为C?=6,第6项的系数为&・(一1)・2=—12・⑵Tr+=Cgx9—~J=(—l)r-C9*x92r,・・・9一2厂=3,・••厂=3,即展开式中第四项含其系数为(一1)亠&=一84.1.二项式系数都是组合数C：(厂丘｛0,1,2,…，川)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数"与二项式展开式中''项的系数''这两个概念.2.第r+1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C：•例如，在(l+2x)7的展开式中，第四项是几=&卩"2x)3,其二项式系数是Q=35,而第四项的系数是C^23=280

9、.II［再练一题］1.(1)(2015-安徽高考)(兀3+抄的展开式屮疋的系数是.(用数字填写答案)(2)二项式@一的展开式中的常数项为.【解析】(1)7；+］=G・(Q7-令21-4r=5,得r=4,估=35.故展开式中x5的系数为35.(2)7；+]=4(2尢)6一(—圭)=(—1)026一2歩-",令6-2r=0,得厂=3,所以常数项为7；=(-l)求冷求含/项的系数；求展开式屮所有的有理项.【精彩点拨】

10、写出通项7；+]

11、一

12、令厂=5,x的指数为零