人教A版22020高中数学选修2-3教学案：1.3.1　二项式定理_含解析.doc

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1、1．3．1　二项式定理预习课本P29～31，思考并完成以下问题1．二项式定理是什么？2．通项公式又是什么？3．二项式定理有何结构特征，二项展开式中某项的二项式系数与某项的系数有区别吗？　　　二项式定理二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn二项展开式公式右边的式子二项式系数C(k＝0,1,2，…，n)二项展开式的通项Tk＋1＝Can－kbk[点睛]　应用通项公式要注意四点(1)Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项；(2)公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；(3)要将通项中的系数和字

2、母分离开，以便于解决问题；(4)对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．(　　)(2)二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项相同．(　　)(3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×2．5的展开式中含x3项的二项式系数为(　　)A．－10　　　　　　　　B．10C．－5D．5答案：D3．5展开式中的常数项为(　　)A．80B．－80C．40D．－40答案：C4．(1＋2

3、x)5的展开式的第3项的系数为________，第三项的二项式系数为________．答案：40　10二项式定理的应用[典例]　(1)求4的展开式；(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．[解]　(1)法一：4＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·2＋C·3·3＋C·4＝81x2＋108x＋54＋＋．法二：4＝＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋．(2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C(x－1

4、)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1．运用二项式定理的解题策略(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．　　　　　　[活学活用]1．化简(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1的结果为(　　)A．x4　　　　　　　　　B．(x

5、－1)4C．(x＋1)4D．x4－1解析：选A　(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝C(x＋1)4＋C(x＋1)3(－1)1＋C(x＋1)2(－1)2＋C(x＋1)(－1)3＋C(x＋1)0(－1)4＝[(x＋1)－1]4＝x4，故选A．2．设n为自然数，化简C·2n－C·2n－1＋…＋(－1)k·C·2n－k＋…＋(－1)n·C＝________．解：原式＝C·2n·(－1)0＋C2n－1·(－1)1＋…＋(－1)k·C2n－k＋…＋(－1)n·C·20＝(2－1)n＝1．答案：1二项式系数与项的系数问题[典例

6、]　(1)求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求9的展开式中x3的系数．[解]　(1)由已知得二项展开式的通项为Tr＋1＝C(2)6－r·r＝26－rC·(－1)r·x3－，　∴T6＝－12·x－．∴第6项的二项式系数为C＝6，第6项的系数为C·(－1)5·2＝－12．(2)设展开式中的第r＋1项为含x3的项，则Tr＋1＝Cx9－r·r＝(－1)r·C·x9－2r，令9－2r＝3，得r＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C＝－84．[一题多变]1．[变设问]本例问题(1)条件不变，问题改为“求第四项的二

7、项式系数和第四项的系数”．解：由通项Tr＋1＝(－1)r·C·26－r·x3－r，知第四项的二项式系数为C＝20，第四项的系数为C·(－1)3·23＝－160．2．[变设问]本例问题(2)条件不变，问题改为“求展开式中x5的系数”，该如何求解．解：设展开式中第r＋1项为含x5的项，则Tr＋1＝(－1)r·C·x9－2r，令9－2r＝5，得r＝2．即展开式中的第3项含x5，且系数为C＝36．求某项的二项式系数或展开式中含xr的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别．　　　　与展开式中的特定项有关的问

8、题题点一：求展开式中的特定项1．(四川高考)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为(　　)A．－15x4B．15x4C．－20ix4D．20ix4解析：选A　二项式