高中数学人教A版选修2-3学案：131二项式定理含解析

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1、1.3二项式定理1・3.1二项式定理学习目标导航I——1.会证明二项式定理.（难点）2•掌握二项式定理及其展开式的通项公式.（重点）阶段1L认知预习质疑:知识梳理要点初探）［基础•初探］教材整理二项式定理阅读教材P29〜P31,完成下列问题.二项式定理及相关的概念二项式定理概念公式(a+b)"=C%"+Ch"7b+一芳+…+C伽"—*//'+•・・+Cnbn(nWN)称为二项式定理二项式系数各项的系数C；伙e{0,l,2,…，砒）叫做二项式系数二项式通项C0一呢是展开式中的第£+1项，可记作几+尸①厂人放其中

2、OWkS,hen"）二项展开式C%"+C„an~1h+~Cnankhk~\~C：b"(nGN)备注在二项式定理屮，如果令0=1,b=x,贝lj得到公式（1+兀）x+C^x2+…+C忖+…+C；#（”丘N）。微体验O判断（正确的打“J”，错误的打“X”）（1）（d+b）“展开式中共有比项.（）（2）在公式中，交换°,b的顺序对各项没有影响.（）⑶C%"一忖是⑺+厅展开式中的第R项•（）(4)S—b与(d+b)"的二项式展开式的二项式系数相同.()【解析】(l)x因为(a+b)n展开式中共有n+项.(2)X

3、因为二项式的第£+1项C^n~kbk和e+d)"的展开式的第£+1项C給"是不同的，其中的〃是不能随便交换的.(3)X因为C紂是(d+b)"展开式中的第R+1项.(4)V因为(g—川与(a+b)n的二项式展开式的二项式系数都是C；；.【答案】(1)X⑵X⑶X(4)7［质疑•手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1:解惑：疑问2：解惑:疑问3：解惑：阶段2介作探究通关分组讨论展难细究)［小组合作型］二项式定理的正用、逆用»例0(1)用二项式定理展开@一却5；(2)化简:C怎+l)w-

4、Ci(x+1严+喙兀+1严—・・・+(—1)乜(卄1严+・・・+(-irc；；.【精彩点拨】(1)二项式的指数为5,且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把兀+1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解.【自主解答】=32?-120/+爭一爭+絆一噩名师胚J(2)原式=C%x+i),?+ci(A■+iyi(—1)+C钦兀+1),?_2(—l)2+•••+Cj(x+1)"一《一i)*+…+c；；(—ir=[(x+1)+(—i)r=t.11.展开二项式可以按照二项式定理进行.展开时注意二项式定理的

5、结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件.2.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.3.对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用.对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幕指数的规律以及各项的系数.［再练一题］1.(1)求的展开式；(2)化简：1+20/,+4&+…+2"C；；・灵+C；(3心)2.【解】⑴法一：=C%3侗+C〔(3侗2+&(3心)(±)+c扌=81?+108x+54+y+p.法二:(3x+l)°X1=A(81x4+108?+54?+12x+1)•/v(2)原

6、式=1+2C*+22C^+…+2"C；；=(1+2)"=3".二项式系数与项的系数问题数;卜例(1)求二项式2的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系(2)求「一少的展开式中兀3的系数.【精彩点拨】利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解.【自主解答】(1)由已知得二项展开式的通项为T「+1(—分=(-im-26_r.x3-

7、r,・••第6项的二项式系数为C?=6,第6项的系数为&・(一1)・2=—12・⑵乃+1=(2$尢9匚(—~J=(—l)r-C9*X9［再练一题］(l+2x

8、)〃的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系・・・9一2厂=3,Ar=3,即展开式中第四项含无彳，其系数为(一1尸•&=一84.1.二项式系数都是组合数C^e{0,1,2,…，对)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念.1.第£+1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C,例如，在(l+2x)7的展开式中，第四项是7；=C^17-数最大的项和系数最大的项.(2x)其二项式系数是G=35,而第四项的系数是C^23

9、=280.】2"一i二?少［•••5WRW6.:・k=5或比=6（・・*丘｛0,1,2,…，8｝）・・•・系数最大的项为76=1792?,T7=l792x6.［探究共研型］求展开式中的特定项探究1如何求(x+Z)展开式中的常数项.【提示】利用二项展开式的通项CU4_rA=C^4_2r求解，令4一2r=o,则✓Vr=2,所以讥4X32=6・探究2(d+b)(c+〃)展开式中的每一项是如何得到的？【提Z