2017-2018学年高中数学人教b版选修2-3教学案1.3.1 二项式定理含解析

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1、1.3二项式定理1．3.1　二项式定理问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3、(a＋b)4的展开式．提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：(a＋b)3的展开式有4项，每一项的次数是3；(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数为4.问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？提示：(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式的乘法法则知，从每个(a＋b

2、)中选a或选b相乘即得展开式中的一项．若都选a，则得Ca4b0；若有一个选b，其余三个选a，则得Ca3b；若有两个选b，其余两个选a，则得Ca2b2；若都选b，则得Ca0b4.问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N＋)的展开式吗？提示：能，(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Cbn.1．二项式定理公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋)所表示的规律叫做二项式定理．2．相关概念(1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式．(2)各项的系数C(r＝0,1,2，…，n)叫做展开

3、式的二项式系数．(3)展开式中的Can－rbr叫做二项展开式的通项，记作：Tr＋1，它表示展开式的第r＋1项．(4)在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxr＋…＋Cxn.展开式具有以下特点：(1)项数：共有n＋1项；7(2)二项式系数：依次为C，C，C，…，C，…，C；(3)每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂、b的升幂排列展开；(4)通项Tr＋1＝Can－rbr是第r＋1项，而不是第r项．二项式定理的正用、逆用[例1]　(1)用二项式定理展开5.(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋

4、1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)rC(x＋1)n－r＋…＋(－1)nC.[思路点拨]　(1)二项式的指数为5，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．[精解详析]　(1)5＝C(2x)5＋C(2x)4·＋…＋C5＝32x5－120x2＋－＋－.(2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－r(－1)r＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.[一点通]　1．(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂

5、指数规律是：(1)各项的次数等于n；(2)字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.2．逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．1．求4的展开式．解：法一：4＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·2＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋.法二：4＝7＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋.2．求C＋9C＋92C＋93C＋94C的值．解：原式＝(92C＋93C＋94C＋95

6、C＋96C)＝(C＋91C＋92C＋93C＋94C＋95C＋96C)－(C＋91C)＝(1＋9)6－(1＋6×9)＝(106－55)＝12345.求二项展开式中的特定项或其系数[例2]　(1)(江西高考)5展开式中的常数项为(　　)A．80　　　　　　　　B．－80C．40D．－40(2)(浙江高考)设二项式6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．[思路点拨]　求特定项或特定项的系数，可以先写出二项展开式的通项，求出相应的r值后再代入通项求特定项或其系数．[精解详析]　(1)设展开式的通项为Tr

7、＋1＝C·r·(x2)5－r＝(－2)rCx10－5r，所以当10－5r＝0，即r＝2时，Tr＋1为常数．即Tr＋1＝(－2)2C＝40.故选C.(2)由题意得Tr＋1＝Cx6－rr＝(－a)rCx，∴A＝(－a)2C，B＝(－a)4C.又∵B＝4A，∴(－a)4C＝4(－a)2C，解之得a2＝4.又∵a>0，∴a＝2.[答案]　(1)C　(2)2[一点通]　求二项展开式中的特定项要注意以下几点：(1)求二项展开式中的特定项是二项展开式的通项的应用；(2)二项展开式的通项是指Tr＋1＝Can－rbr，如T5＝T4＋1＝Can－4b4，代入时不要

8、代错值；7(3)常数项是指不含字母的项；(4)有理项是指字母指数为整数的项．3．(四川高考)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(　　)A．3