高中数学北师大版选修2－3同步导学案：1.5.1+二项式定理

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1、§5　二项式定理5.1　二项式定理1．能用计数原理证明二项式定理．(难点)2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．(难点)[基础·初探]教材整理　二项式定理阅读教材P23～P24“例1”以上部分，完成下列问题．1．二项式定理：(a＋b)n＝_________________________________________.【答案】　Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn2．二项式系数：__________________________________________________.【答案

2、】　C(r＝0,1,2，…，n)3．二项式通项：______，即二项展开式的第______项．【答案】　Can－rbr　r＋14．在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式：(1＋x)n＝________________________.【答案】　1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxr＋…＋xn判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．(　　)(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．(　　)(3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　　)(4)(a－b)n与(a＋b)

3、n的二项式展开式的二项式系数相同．(　　)【解析】　(1)×　因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．(2)×　因为二项式的第k＋1项Can－kbk和(b＋a)n的展开式的第k＋1项Cbn－kak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．(3)×　因为Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k＋1项．(4)√　因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是C.【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解

4、惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]二项式定理的正用、逆用　(1)用二项式定理展开5；(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.【精彩点拨】　(1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．【自主解答】　(1)5＝C(2x)5＋C(2x)4·＋…＋C5＝32x5－120x2＋－＋－.(2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(

5、－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．[再练一题]1．(1)求4的展开式；(2)化简：1＋2C＋4C＋…＋2nC.【解】　(1)法一：4＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3

6、)2·2＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋.法二：4＝＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋.(2)原式＝1＋2C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n.二项式系数与项的系数问题　(1)求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求9的展开式中x3的系数．【精彩点拨】　利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．【自主解答】　(1)由已知得二项展开式的通项为Tr＋1＝C(2)6－r·r＝(－1)rC·26－r·，∴T

7、6＝－12·.∴第6项的二项式系数为C＝6，第6项的系数为C·(－1)·2＝－12.(2)Tr＋1＝Cx9－r·r＝(－1)r·C·x9－2r，∴9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C＝－84.1．二项式系数都是组合数C(r∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C17－3(2

8、x)3，其二项式系数是C＝35，而第四项的系数是C23＝280.[再练一题]2．(1)(2015·安徽高考)7的展开式中x5的系数是________．(用数字填写答案)(2)二项式6的展开式中的常数项为________．【解析】　(1)Tr＋1＝C·(x3)7－rr＝Cx21－4r，令21－4r＝5，得r＝4，C＝35.故展开式中x5的系数为35.(2)Tr