用空间向量求夹角专题

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1、专题一：利用空间向量求夹角专题正阳一高二年级数学组求异面直线所咸的角分别在直线n±取两个定向量总$,则异面直线加,/7所成的角0等于向量—♦所成的角或其补角&,则cos0=

2、cos&

3、="勺I5I-I&I特殊情形：方丄乙o2至=0,即异面直线o垂直于b。评注：应用空间向量法解此类题避开了作平移及复杂的逻辑推理，只须求出异面直线所在的向量坐标，应用向量内积即可求夹角，然后利用公式求解异面直线所成的角。【例1】如图，正方体ABCD—AQGD中，求异面直线AC与BG的夹角二、求直线与平面所成的角特殊情形：当g=

4、R且QhO）,则直线o与平面o垂直。一般情形：在直线厶上取定乔（或与直线L共线的方）求平面Q的法向量7?（如图所示），再求C。宀刖则sin0=cos&=上^电=cosq注:(AB^=0评注：求线面角关键在于：找到平面的一个法向量，法向量与直线所在的向量夹角的互余的角，即为所求的角。（如何求平面的一个法向量）：例2:如图，在正方体ABCD-AiB.CiDi中G、E、F分别为AAi、AB、BC的中点，求平面GEF的法向量。解：以D为原点建立右手空间直角坐标系，则E（l,丄,0）、F（丄，1,0）、22G(l,

5、0,£)由此得:狂=(0,*—*FE=(

6、-

7、o)设平面的法向量为刃=(兀,y,z)由：丄GEJAn丄旋可得二一-11n•GE=—yz=0/<22jx=y——*117=VFE=—xy=0一*22，令y=l取平面的一个法向量为方=(1,1,1)评析因为平面的法向量有无数个，方向可上可下，模可大可小，我们只要求出平面的某一个法向量（教简单的）即可。【例3】如图，在三棱椎P-ABC中，PA丄平面ABC,ZBAC=90°,D,E,F分别是棱AB、BC、CP的中点，AB二AC二1,PA二2,（I）求直线PA与平面D

8、EF所成角正弦值的大小;求二面角的大小一.利用法向量求二面角的大小的原理：设石,恳分别为平面a,0的法向量，二面角a-l-0的大小为8,向量兀］宀的夹角为卩，则有&+0=龙（图1）或6-（p（图2）n2(P3—<基本结论构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角•可根据图形来判断二面角的平面角是钝角还是锐角来和所求法向量的夹角余弦值的正负来进行比较来确定是相等还是互补。当直观很难判断二面角是锐角还是钝角时，通过判断法向量的方向来求解二面角.原理首先我们再重新认识一下法向量夹角和二

9、面角的关系：如上图•所示，当我们把法向量控制成“一进一出”,此时■两法向量在三个坐标平面xoy,yoz,xoz的投影也可以看成是“一进一出”，这时不难得出斤，石的夹角就是二面角的大小，反之就不是。图6其次如何控制一个平面的法向量方向是我们想要的“向上或向下”，“向后或向前”，“向左或向右”呢?如图耳所示：平面iiiC的法向量方若要法向量方的方向“向上”，可设n=(x,j,l)或n=(x,y,z0),其中z0>0；若要法向量〃的方向“向前”，可设n=(1,y,z)或n=(x0,y,z)，其中x0>0；若要法

10、向量：的方向“向右”，可设：=(兀,1,y)或n=(兀,儿,z),其中儿>0所以，只要我们判断两个法向量的方向是“一进一出”，那么所求的二而角的平而角就等于两法向量的夹角，如果是“同进同出”，那么所求的二面角的平面角就等于两法向量的夹角的补角，掌握了这点，那么用法向量求二面角就可以做到随心所欲。【例4】如图，在正三棱柱A

11、BC—ABC中，D,E分别是棱BC、CC】的中点,AB=AA{=2,(I)证明：BE丄AB};(II)求二面角B-AB.-D的大小;ADB、【例5】如图，正三棱柱ABC-AS,C,的所有

12、棱长都为2,D为cq中点.(I)求证：ABX丄平面A.BD；(II)求二而角A-A.B-Q平而角的余弦值;