用空间向量解决空间中“夹角”问题

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1、利用空间向量解决空间中的“夹角”问题学习目标：1.学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法；2.能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；3.提高分析与推理能力和空间想象能力。重点：利用空间向量解决空间中的“夹角”难点：向量夹角与空间中的“夹角”的关系一、复习引入1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距

2、离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）2．向量的有关知识：（1）两向量数量积的定义：abO（2）两向量夹角公式：（3）平面的法向量：与平面垂直的向量二、知识讲解与典例分析知识点1：异面直线所成的角（范围：）（1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a´与b´，那么直线a´与b´所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b所成的角.（2）用向量法求异面直线所成角设两异面直线a、b的方向向量分别为和，问题1：当与的夹角不大于90°时，异面直线a、b所成的角与

3、和的夹角的关系？问题2：与的夹角大于90°时，，异面直线a、b所成的角与和的夹角的关系？结论：异面直线a、b所成的角的余弦值为4ABCA1B1C1xyZD例1如图，正三棱柱的底面边长为,侧棱长为，求和所成的角.解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。解：如图建立空间直角坐标系，则，即和所成的角为知识点2、直线与平面所成的角（范围：）（图1）思考：设平面的法向量为，则与的关系？（图2）据图分析可得：结论：例2、如图，正三棱柱的底面边长为,侧棱长为，求和所成角的正弦值.分析

4、：直线与平面所成的角步骤：1.求出平面的法向量2.求出直线的方向向量3.求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角ABCA1B1C1xyZD解：如图建立空间直角坐标系，则设平面的法向量为4由取，和所成角的正弦值.知识点3：二面角（范围：）ll结论：或归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.例3、如图，是一直角梯形，，面，，，求面与面所成二面角的余弦值.解：如图建立空间直角坐标系，则易知面的法向量为设面的法向量为，则有，取，得，4又方向朝面内，方向朝面外，属于“一

5、进一出”的情况，二面角等于法向量夹角即所求二面角的余弦值为.三、课堂小结1．异面直线所成的角：2．直线和平面所成的角：3．二面角：.四、小试牛刀1：正方体的棱长为1，点、分别为、的中点.求直线与平面所成的角的正弦值.2：正方体的棱长为1，点、分别为、的中点.求二面角的余弦值。4