资源描述：
《用空间向量法解决立体几何问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、用空间向量法解决立体儿何问题l.W个重要向量（1）直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行（或重合）的非零向量，一条直线的方向向量有无数个.⑵平面的法向量：直线/丄平面《，取直线/的方向向量，则这个向量叫做平的法向量.显然一个平而的法向S有无数个,它们是共线向S:.2.空间位置关系的14量表示位置关系向量表示直线A，/2•的方向向量分别为Wi，&/
2、///2H//=L)J12ni±«2<=>wi•fi2=Q直线/的方向向量为《，平面a的法向量为Wl//aw丄州特讲•n=0/丄an//m^n=Am平面a、A的法向量分别为《，m.a"Pn//m^n=),mal
3、pw丄mG//•tn=Q3.两条兄曲‘直线所成角的求法设两条异面直线6/，A的方向向量为&仏其夹角为仏则cvsp=leWl=瑞（其中识为异面直线仏6所成的角）.4.直线和平面所成的角的求法如阁所示,设直线/的方向向量为e,平而《的法向量为/!，直线/与平而《所成的角为什两向量6与《的夹角为沒，则有Sf/70=
4、COS沒
5、Yq1e/n5.求二面角的大小/////（1）如图①，CD是二面危a—/—0的W个面内与梭/垂/Y直的直线，则二面角的大小e={AB,CD}.⑵如图②③，…，&分別是二面角a_/—夕的两个半平面a，P的法向量，则二面角的大小0=〈Wp打2〉（或7T—〈
6、《1,，，2〉〉•提示：两向量的夹角范围是［0,71］;①②③两异面直线所成角的范围是（0,直线与平妞所成角的范围是［0，g;面角的范围是［0,7T］.【注意】空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系：①求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，而不是线面角的余弦②求二而角时，两法向fi的夹角有可能是二而角的补角，要注意从图中分析.4.点到平而的距离的句量求法则点5到平面a的距离
7、./i
8、
9、w
10、•如图，设为平面《的一条斜线段，n为平而a的法向量，一、用向量法证明平行、垂直【例1】在长方体必67?-肩及6^屮，AA、=2AB=2BC，W、fi
11、分别是棱似，屬，兑及的屮点.(1)求证：G’//平而(2)求证：6F1平而6］价：(3)求证：T•面ClfiA丄平面CEF.【解析】以为原点，ZM,Z?GZW所在的直线为；r轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设BC='，则6<0，1，0)，Ml,O,1),61(0,1,2),A(l,1,1),/l,2(1)设平面的法向量/2=(x,y,z).•••C'E'1，-!，oI，FC,=(-1,0,1)n•FC=0,义—i尸0,-x+z=0.取zr=(1,2,1)•*.*CE=(1,—1,1),72•d=1—2+1=0,/.CF丄/?.又•••67灯平而⑽'，：.CE//平而
12、6；么？：(2)玖1,0,1),Ml,1,1),m1,0),61(0,1,2),/.CF=(1,0,1),C}F=(1,0,—1),EF=(0,1,0).:.~CF•qF=1X1+OXo+lx(-1)=0,@•Z^=1XO+OX1+1XO=O.•••^7;丄^7;，抒i吞:.CFX.C'F，CFLEF.V6；API•••fA丄平而GEF.(3)设平而汾Z?的法昀量为hz?=o,—a—c=Q.iEF=(0,1,0),FC=(—1,0,—1),取2Z?=(—1,0,1).m•EF=0,m*FC=0,V2Z7-z?=ix(-1)+2X0+1Xl=-1+1=0,...平面Gf
13、i/7丄平而CEF.【方法•规律】1.向量法证明空间平行或垂直的关键点利用向量法证明空间中的平行或垂直的问题时，建系是关键的一步，通常借助于儿何阁形中的垂直关系选择坐标原点和坐标轴，并让尽可能多的顶点在坐标轴上.2.14景法证明线面平行的注意点用向量法证线面平行可以证明直线的一个方向向量与平面内的某一向量是共线平行向量，也可以证明直线的方向向量与平面的某个法向量垂直，在具体问题中可选择较简单的解法.R【变式】如图，己知狀丄平而/fCA做丄平面况双△//⑺为等边三角形，AD=DE=2AB,A为⑺的中点.(1)求证：JA//平而7?6石(2)求证：平面况W丄平面67沢【解
14、析】後AD^DE=2AB=2a，建立如图所示的來标系J一Ayz,则膽,0,0)，C(2a,0,0),廊，0,a),D{a，yfia,0),E(afy(3a,2a).•••厂为67?的中点，.••0)(1)证明：BE=(
15、(5£+5C),J/C平而BCb',AF//平而BCE.(2)证明：VAF-1--CD=(—a，0),ED=(0,0,—2a),AF•CD=Q，AF•ED=0,人1?丄&5，IFi而.又CDQDR=D，：.~AF丄平面67於，即4厂丄平面CDE.又d/7/平面况E/.平面丄平面用向量法求
