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1、海滨中学陈鹏数学专题二空间向量在立体几何中的应用复习如图,在四棱锥中,丄平面,丄,丄,,,(Ⅰ)证明丄;(Ⅱ)求二面角的正弦值;(Ⅲ)设E为棱上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为,求AE的长.【真题导入】（2012年高考（天津理））【命题意图】本小题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角、异面直线所成的角,直线与平面垂直等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.第14页第18页学习提纲二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系；(1)直线与直线的位置关系;(2)直线与平面的位置关系;(3)平面与平面的位置关系;2、求
2、解空间中的角度；3、求解空间中的距离。1、直线的方向向量；2、平面的法向量。一、引入两个重要空间向量一.引入两个重要的空间向量1.直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.zxyABAB如图,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是如图表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量.几点注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量与平面平行或在平面内，则有2.平面的法向量αn如图,设a=(
3、x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a=0且n·b=0,则n⊥α.思考：3.在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢?abnα(1)求平面的法向量的坐标的一般步骤:第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据n·a=0且n·b=0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标.例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面
4、OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz,那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),取z=1解得:得:由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）AAABCDOA1B1C1D1zxy二.立体几何问题的类型及解法1.判定直线、平面间的位置关系(1)直线与直线的位置关系不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a,b.①若a∥b,即a=λb,则a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,则a⊥babab(2)直线与平面的位置关系直线L
5、的方向向量为a,平面α的法向量为n,且Lα.①若a∥n,即a=λn,则L⊥α②若a⊥n,即a·n=0,则a∥α.naααnaLL(3)平面与平面的位置关系平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,则α⊥ββαβαn2n1n1n2FEXYZ解：如图以为正半轴方向，建立空间直角坐标系，xyz则异面直线所成角的范围：思考：结论：题型一：线线角2.求空间中的角题型二：线面角直线与平面所成角的范围：思考：结论：题型二：线面角题型三：二面角二面角的范围：关键：观察二面角的范围解：如图以为正半轴方向，建立空间直角坐标系，xyz
6、则首页(2)设平面的法向量取是平面的法向量得：二面角的正弦值为xyz解：如图以为正半轴方向，建立空间直角坐标系，(3)设即AE的长为空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、距离等问题，其方法是不必添加繁杂的辅助线，只要建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量运算解决立体几何问题。这样使问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理问题完全转化为代数运算，降低了思维难度，这正是在立体几何中引进空间向量的独到之处。如果没有运算，向量只是一个路标.因为有了运算，向量的力量无限。谢谢
