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1、空间向量法解决立体几何问题数学专题二二、讲授新课1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形问题）设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,
2、z2-z1).一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.1.空间向量的直角坐标表示2.空间向量的直角坐标运算律：则:=AB设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),例2已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),求a+b,a-b,8a,ab解:专题提纲二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系；(1)直线与直线的位置关系;(2)直线与平面的位置关系;(3)平面与平面的位置关系;2、求解空间中的角度；3、求解空间中的距离。1、直线的方向
3、向量；2、平面的法向量。一、引入两个重要空间向量一.引入两个重要的空间向量1.直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图1,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是zxyAB2.平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量.αn在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢?如图2,设a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平
4、面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a=0且n·b=0,则n⊥α.abnα求平面的法向量的坐标的步骤第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据n·a=0且n·b=0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标.例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCD
5、OA1B1C1D1zxy解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图）,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2）由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）得，解得取z=1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).1、已知A（1，0，1），B（0，1，1），C（1，1，0），求平面ABC的一个法向量。依题意得：解：设平面ABC的一个法向量，令，则所以，平面ABC的一个法向量为空间中的线面关系及对应向量特征lmlmll设直线
6、l,m的方向向量分别为a,b，平面α，β的法向量分别为u,v,则线线平行：l∥ma∥ba=kb;线面平行：l∥αa⊥ua·u=0;面面平行：α∥βu∥vu=kv.线线垂直：l⊥ma⊥ba·b=0;面面垂直：α⊥βu⊥vu·v=0.线面垂直：l⊥αa∥ua=ku;巩固性训练11.设分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系.平行垂直平行巩固性训练21.设分别是平面α,β的法向量,根据下列条件,判断α,β的位置关系.垂直平行相交练习：在长方体中，简解：四棱锥S-ABCD中，底面A
7、BCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=450，AB=2，例1、（1）证明SA⊥BC；（2）求直线SD与平面SAB所成角的大小。解法二：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD。因为SA=SB，所以AO=BO，又因为∠ABC=450，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO。以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O-xyz.所以SA⊥BC。S四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=4
8、50，AB=2，例1、（1）证明SA⊥BC；（2）求直线SD与平面SAB所成角的大小。解（2）、所以，直线SD与平面SAB所成的角为在梯形ABCD中,∠BAD=∠ADC=900,AB=AD,DC=2AB,SD⊥平面ABCD,求证:(1)SA⊥AB(2)BC⊥SBABCDSExzyxzy例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点,求证:(I)A1E⊥平面DBC1;(II)AB1∥平面DBC1A1C1B1AC
