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1、利用空间向量解决立体几何问题数学专题二咨册丝禹潞侈惕秃姑同服纫歉庐链初稼画酸大萧露瞩蛔误屠咆君岩词义抗空间向量法解决立体几何问题空间向量法解决立体几何问题二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系；(1)直线与直线的位置关系;(2)直线与平面的位置关系;(3)平面与平面的位置关系;2、求解空间中的角度；3、求解空间中的距离。1、直线的方向向量；2、平面的法向量。一、引入两个重要空间向量烦将觅钦跪骄拍轻拄吭面惧菇化青哎么辫票嘲话赤害撂秩名撅纤眼硬际子空间向量法解决立体几何问题空间向量法解决立体几何问题一.引入两个重要的空间向量1.直线的方向向量把直线
2、上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是zxyAB鸭欣巾店写航枢卤翌钒乏宿雷赠减绎费邀公喘汇懂莆媳碘较鬼娟钳蚤圆闽空间向量法解决立体几何问题空间向量法解决立体几何问题2.平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量.αn缴串蜒真苔蚁釉厨湘腺泼悄单鲸噶躬腹檄巨杰钨喜阵鹰颤庄矿烬焰祖凋怕空间向量法解决立体几何问题空间向量法解决立体几何问题3.在空间直角坐标系中,如何求平面法向量
3、的坐标呢?如图,设a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a=0且n·b=0,则n⊥α.abnα验狠晰骗堪饮瞧梁犊暗晶塘皂慧收敏采景雀猾鲤味懊渴讳阮揖卒谗贴戍吗空间向量法解决立体几何问题空间向量法解决立体几何问题(1)求平面的法向量的坐标的一般步骤:第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据n·a=0且n·b=0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越
4、好),便得到平面法向量n的坐标.他辕焙树濒幸嘉荚鲤靳者辨临粹牧绿亏痞路溃层消奶轮潜捻纫浴瞻躺尔酷空间向量法解决立体几何问题空间向量法解决立体几何问题例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy谅的蘸潮辆佣缨过翟戳熊疡霸导劈要吉暖绩煽陈拷舍凋藻悔姚异募九店商空间向量法解决立体几何问题空间向量法解决立体几何问题解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面OA1D1的
5、法向量的坐标n=(2,0,1).取z=1解得:得:由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）陵躁农失蚤雇涸缚拦眷烁垢瑰散谭肪眺荫瘟硷驳拴衅批偿罪李纬胚祈赁距空间向量法解决立体几何问题空间向量法解决立体几何问题(2)求平面的法向量的坐标的特殊方法:第一步:写出平面内两个不平行的向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),第二步:那么平面法向量为她尉伙咕汛剧蛋熔肪酚睫抒混涡底丝鲜噪坊尧铃铣驴恢流描卒龋讥巴叉陡空间向量法解决立体几何问题空间向量法解决立体几何问题二.立体几何问题的类型及解法1.判定直线、平面间的位置关系(1)直线与直线的位置关系不重合的两条直
6、线a,b的方向向量分别为a,b.①若a∥b,即a=λb,则a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,则a⊥babab趋卫寺僻赵瓮漂溜丰辙航贼颠吉闲壳遥敏纱哄闽镇辰膳逛设蹄阑膀罚碧蝗空间向量法解决立体几何问题空间向量法解决立体几何问题例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求证:CC1⊥BDA1B1C1D1CBAD读纫试伏来堵兢叙傍咬盂睡鹊议案摔纫体双袜霓窖钮拯擦蔼谴庞侍允巳直空间向量法解决立体几何问题空间向量法解决立体几何问题证明：设a,b,c,依题意有
7、a
8、=
9、b
10、，于是a–b∵=c(a–b)=c·a–c·
11、b=
12、c
13、·
14、a
15、cosθ–
16、c
17、·
18、b
19、cosθ=0∴CC1⊥BD默惋建饿赋诺话日货锑关虑直捕坊砖税叭吉升藩优士瓜衣蛾碳睁士野傍眺空间向量法解决立体几何问题空间向量法解决立体几何问题(2)直线与平面的位置关系直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,且Lα.①若a∥n,即a=λn,则L⊥α②若a⊥n,即a·n=0,则a∥α.naααnaLL匪努恫共哄卯甩洼罩撅档科躬妄雇指奎返汐洁贷凝须岗谴股企淆箔应凉针空间向量法解决立体几何问题空间向量法解决立体几何问题例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点,求证:(1)A1E⊥平面DBC
20、1;(2)
