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1、【空间向量与立体几何姓名知识点归纳垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系1平行转化线线平行线面平行面面平行2垂直转化线线垂直线面垂直面面垂直知识梳理1．空间直角坐标系： 在空间选定一点引三条互相垂直且有相同长度单位的数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面； 作空间直角坐标系时，一般使（或），； 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系。规定立几中建立的坐标
2、系为右手直角坐标系．2．空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组叫在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．３．空间两点间距离若，，则特别地，Ａ到原点的距离（2）夹角公式：．空间向量法解决立体几何问题一、引入两个重要空间向量1、直线的方向向量；2、平面的法向量。二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系；(1)直线与直线的位置关系;(2)直线与平面的位置关系;(3)平面与平面的位置关系;2、求解空间中的角度；3、求解空间中的距离。一.引入两个重要的
3、空间向量1.直线的方向向量：把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图1,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是zAB2.平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量yx在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢?如图2,设a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a=0
4、且n·b=0,则n⊥α求平面的法向量的坐标的步骤:第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据n·a=0且n·b=0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标.例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量练习：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1,D1中，E,F分别为棱AB,BC的中点，试在棱BB上找一点M,使得D1M平面EFB1二.立体几何问题的类型及解法1.判定直线
5、、平面间的位置关系(1)直线与直线的位置关系不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a,b.①若a∥b,即a=λb,则a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,则a⊥babab(2)直线与平面的位置关系直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,且L不在α.内①若a∥n,即a=λn,则L⊥α②若a⊥n,即a·n=0,则a∥α.naLnLa例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,，D,E分别是AC,CC1的中点,求证:(I)A1E⊥平面DBC1;(II)AB1∥平面DBC1练习：1：两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交与AB,.M,N分
6、别为BD,AE上的点，且AN=DM,（1）求证：MN//平面EBC;(2)求MN长度的最小值2：在正方体ABCD-A1B1C1,D1中，O为AC和BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O平面GBD3.在正方体中，分别是的中点，求证平面．(3)平面与平面的位置关系平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,则α⊥β例4正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:面AED⊥面A1FD练习：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3
7、，CC1=2，求证：平面A1BC1//平面ABD12.求空间中的角(1)两异面直线的夹角:利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_____.练习：1：在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB=AC，ABAC,M为CC1的中点，Q为BC的中点，点P在A1B1上，求直线PQ与直线AM所成的角2：棱长均相等的四面体A—BCD中，
8、E,F分别是棱AD,BC的中点，连结AF,CE所成的角(2)直线与与平面所成的角若n是平面α的法向量,a是直线L的方向向量,则L与α所成的角θ=或θ=
