资源描述：
《空间向量法解决立体几何问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、空间向量坐标法---解决立体几何一.建立恰当的空间直角坐标系，能求点的坐标；1、三条直线交于一点且两两垂直；方便求出各点的坐标。2、如何求出点的坐标：先求线段的长度（特别是轴上线段）：由己知条件可全部求出来；若不能，则可先设出来。（1）轴上的点X轴-（a,0,0）,y轴-（0，b，0），z轴-（0,0，c）（2）三个坐标面上的点……已知或求i过点作垂直轴的线段长度，XOy—（a,b，0），yOz（0，b，c），xOz（a，0,c）（3）其它&点：已知或求出过'点作垂直面的线段长度；（4）中点坐标：A（x,,yi,zi）,B（x2,
2、y2,z2）~~则线段AB的中点：（A-’+A
3、，v’2+•'、，:2+Z
4、）2223、动点问题的处理待定系数法法一：直接设出来，然后根据己知条件求出来（1）轴上：（x，0,0），（0，）’,0）、（0,0,z）；（2）面上：O,y,0）、（x，0，z）、（0,y,z）；（3）其它：（a，b，C）o法二：A（xi,yhzi）＞B（x2,y2，z2），M是AB上的动点：设由AS=AAM,用表示点的坐标。-＞4、有向线段的坐标：A（xi,yi,zi）,B（x2，y2,z2）——J30AB=（x2-xl9y2-yl9z2-z｛）二、重要
5、公式或结论：设AB=(%!CD=(x2,y29z2)向量的数量积：Wa+z,z2，ab向量的模:AB向量的夹角:=p/
6、.
7、;
8、cos〈67,石〉两向量共线：AB//CD<=>AB=A.CD«x,=—Ay2,z(=/lz2两向量垂直：而丄沿•而=0三、两个重要的空间向量1.直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图，在空间直角坐标系中，由4（11，＞，1.21）与糾%2，^2.22）确定的直线AB的方向向量是2.平面的法向量如果表示向量《的有向线段所在的直线垂直于平面a，称这个向量垂直于平面a，
9、记作H丄a，这时向量H叫做平面a的法向量.2.1若法向量的模为1,则法向量叫做平面a的单位法向量.2.2在空间直角坐标系中，如何求平面法向量的坐标呢？如图，设^=（;斤23、6=是平面a内的两个不共线的非零向量，由直线与平面垂直的判定定理知，若A丄5且《丄石，则丄a.换句话说，若"*0=0且"=0,则以丄a•2.3求平面的法向量：（一）直接法：已知线段中存在（二）待定系数法……步骤如下:❖第一步（设）:设出平面法向量的坐标为"=（x，y，z）.在平面中找两条相交直线，求其方向向量似^;,：^，^）,^^=（x2，y2，z2）❖第二
10、步（列）:根据n•而=0且n•妃=0可列出方程组fv+y.y+^2=o[^x+y2—>—>八是面的法向量）线A5//面汉：AB丄noAB^n=0线似丄面（1）AB.b2=0（4,么是面a内的相交直线）（2）AB/
11、/nAB=An（n是面o的法向量）（3）平面与平面的位置关系a//[3zn{//n2<=>n,=/lzt2(npn2是平面以、的法向量)n}±zi2«h,•z?2=0n4〜仏是平面p的法向量）/_^X2、求解空间中的角度;cos(a,b)可得：cos(a,bab1.异面直线Afi与CD所成的角久cos0—>—>AB•CD—>AB^CD0,2.斜线AB与平面汉所成的角记沒二则识=90°-沒AS*77sin(pcos3=—>，妒e(0,（$是面6Z的法向量，）3.Z-々的平面角什［0，爿:cos6一＞—>•n2->ni•n2（是《、
12、/?的法向量）（也可能是钝角;T-0,因为二面角a-L-P的大小与法向量〜久夹角相等或互补，要结合具体的题目判断）3、求解空间中的距离：（1）点到平面的距离：1、直接求点到平面的垂线长；2、等体积法（通常放在三棱锥中，求平面的高）3、向量法…代点到面的距离公式，如下；设A为平面a外一点，5为平面a的法向量，过A作平面a的斜线AB及垂线AH.AHABABn\ABna的距离:d=■—>AB•nncos3=
13、Afi
14、-
15、cos〈AB，"〉
16、=
17、ab
18、ABn是面a的法向量、线段是经过点4的任意斜线段）（2）线到面的距离、距离转化为
19、点到面的距离求解;（3）异面直线的距离：1、直接找公垂线求解；2、向量正投影法-----代异面直线的距离公式，如下；如图，设两条异面直线AC、BD的公垂线的方向向量为7i，即A丄AC,5丄BD，这时分别在直线AC、BD上各取一点，如A、B两点，则向
