空间中夹角和距离

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1、空间中的夹角和距离要点1．距离空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的。求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。（1）两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直

2、线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度。（2）点到平面的距离平面外一点P在该平面上的射影为P′，则线段PP′的长度就是点到平面的距离；求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。等体积法。（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的

3、距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a、b所成的角为q，它们的公垂线AA′的长度为d，在a上有线段A′E＝m，b上有线段AF＝n，那么EF＝（“±”符号由实际情况选定）2．夹角空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为0°，90°、[0°，90°]和[0°，180°]。（1）

4、两条异面直线所成的角求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是，向量所成的角范围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。（2）直线和平面所成的角求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”。（3）二面角的度量是通过其平面角来实现的解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。通

5、常的作法有：（Ⅰ）定义法；（Ⅱ）利用三垂线定理或逆定理；（Ⅲ）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cosq＝，其中S为斜面面积，S′为射影面积，q为斜面与射影面所成的二面角。3．等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。典例题型1：直线间的距离问题例1．已知正方体的棱长为1，求直线DA'与AC的距离。解法1：如图1连

6、结A'C'，则AC∥面A'C'D'，连结DA'、DC'、DO'，过O作OE⊥DO'于E因为A'C'⊥面BB'D'D，所以A'C'⊥OE。又O'D⊥OE，所以OE⊥面A'C'D。因此OE为直线DA'与AC的距离。在Rt△OO'D中，，可求得点评：此题是异面直线的距离问题：可作出异面直线的公垂线。图2解法2：如图2连接A'C'、DC'、B'C、AB'A'，得到分别包含DA'和AC的两个平面A'C'D和平面AB'C，又因为A'C'∥AC，A'D∥B'C，所以面A'C'D∥面AB'C。故DA'与AC的距离就是平面A'C'D和平面AB

7、'C的距离，连BD'分别交两平面于两点，易证是两平行平面距离。不难算出，所以，所以异面直线BD与之间的距离为。题型2：线线夹角例2．如图1，在三棱锥S—ABC中，，，，，求异面直线SC与AB所成角的余弦值。图1解法1：用公式当直线平面，AB与所成的角为，l是内的一条直线，l与AB在内的射影所成的角为，则异面直线l与AB所成的角满足。以此为据求解。由题意，知平面ABC，，由三垂线定理，知，所以平面SAC。因为，由勾股定理，得。在中，，在中，。设SC与AB所成角为，则，解法2：平移过点C作CD//BA，过点A作BC的平行线交CD

8、于D，连结SD，则是异面直线SC与AB所成的角，如图2。又四边形ABCD是平行四边形。由勾股定理，得：。图2在中，由余弦定理，得：。题型3：点线距离例3．（2002京皖春，15）正方形ABCD的边长是2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角（如图所示）.M为矩形AEFD