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时间:2018-08-08
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1、用空间向量解决立体几何的空间角问题一、异面直线所成的角设两异面直线所成的角为分别是的方向向量,注意到异面直线所成角的范围是,则有.例1已知正方形和矩形所在平面互相垂直,.试在线段上确定一点,使得与所成的角是.解:如图1,建立空间直角坐标系,则.设,得.又和所成的角是,.解得或(舍去),即点是的中点.评议:采用传统的平移法求异面直线所成角的大小,免不了要作辅助线和几何推理.这里运用向量法,没有了这些手续,显得便当快捷.二、直线和平面所成的角如图2,点在平面外,为内一点,斜线和平面所成的角为,为的一个法向量,注意到斜线和平面所太角的范围是,则有,结合
2、向量的夹角公式便可求.例2 在正三棱柱中,已知在棱上,且,若与平面所成的角为,则( )A.B.C.D.解:取中点,连结,则,如图3,建立空间直角坐标系,则,则.平面平面,,平面.为平面的一个法向量..,选(D).评议:利用向量法求空间角,其操作只须按步骤进行,数值计算十分简单,对空间想象力和几何的逻辑推理能力要求不高,显得简洁明了.三、二面角如图4,分别在二面角的两个面内且垂直于棱,分别是的一个法向量,则可利用向量的夹角公式结合以下角度关系之一求二面角的大小:(1)等于二面角的平面角;(2)与二面角的平面角相等或互补.例3 如图5,在三棱锥中,
3、是边长为4的正三角形,平面平面,,分别为的中点,求二面角的大小.解:取中点,连结.,,且.又平面平面,平面,.如图5所示,建立空间直角坐标系.则,,,设为平面的一个法向量,则取,则.则.又为平面的一个法向量,.二面角的大小为.评议:利用向量法求空间角的大小,经常用到平面的法向量.求法向量的方法主要有两种:1、求平面的垂线的方向向量;2、利用法向量与平面内两个不共线向量数量积为零列方程组求.
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