换个角度求平面法向量研究空间夹角问题

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1、换个角度求平面的法向量研究空间夹角问题图1众所周知，过一定点与已知非零向量垂直的平面是确定的，也就是说，只要知道一定点和一非零向量，就可以求解出过该定点与已知向量垂直的平面方程.比如已知点与平面，向量（不同时为零），于是可以借助向量垂直求解过点与向量垂直的平面的方程：设平面内的任一点，则，即，整理得，即为所求平面的方程.于是根据过点与向量垂直的平面的方程的具体形式，若取可知空间内任一平面的方程的形式为（不同时为零），从求解可以看出平面方程（不同时为零）中的系数对应的实数对就是平面的法向量.再者，根据空间立体几何知

2、识可知过不共线的三点确定一个平面，也就是说，若过已知一个平面内不共线三个点的坐标就可以利用待定系数法求解这三点所在的平面方程，进而就可以利用此法确定相应平面的法向量，研究空间中的夹角（线面角、面面角）问题.例1．（2011年高考全国卷理科第19题）如图1，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，.（Ⅰ）证明：；图2（Ⅱ)求与平面所成角的大小.解析：以点为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图2所示的直角坐标系.依题意得.设点，则.由得，即；再由得，即；由得，即，则，即.（Ⅰ）设平面的方程为（不同时为零），其法向量为.由及可得

3、，即，取，则.于是平面的方程为，其法向量为.而，即，故；（Ⅱ)设平面的方程为（不同时为零），其法向量为.由及可得，即，取，得.于是平面的方程为，其法向量为，而,设与平面所成角，则.图3故与平面所成的角为.例2.（2011年高考辽宁卷理科第18题）如图3，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；（II）求二面角Q—BP—C的余弦值．解析：以点为坐标原点，设，射线为为轴正半轴，建立如图4所示的空间直角坐标系，依题意可知.（I）)设平面的方程为（不同

4、时为零），图4其法向量为.由得，即，取，则.于是平面的方程为,其法向量为.设平面的方程为（不同时为零），其法向量为.由得，即，取，则.于是平面的方程为，其法向量为.于是，则，故平面PQC⊥平面DCQ；（II）设平面的方程为（不同时为零），其法向量为.由得，即，取，则.于是平面的方程为，其法向量为.设平面的方程为（不同时为零），其法向量为.由得，即，取，则.于是平面的方程为，其法向量为.，而二面角Q—BP—C的平面角为钝角，故二面角Q—BP—C的余弦值为.巩固练习：图51.如图5，所示，在正方体中，是棱的中点.（Ⅰ

5、）求直线与平面所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论.2.如图6，正方形ABCD和图6四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。巩固练习答案：1.（Ⅰ）；（Ⅱ）当点为的中点时平面.2.（Ⅰ）（Ⅱ）略；（Ⅲ）.