向量法求夹角.ppt

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1、向量法求夹角βabABCD设异面直线a、b的夹角为θcosθ=AB,CDcos

2、

3、=AB·CD·AB

4、

5、CD

6、

7、θ=AB,CD或θ=π－AB,CD利用两条直线的方向向量的夹角的余弦的绝对值为两直线的夹角的余弦而得。1求直线和直线所成的角[例1]正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1的底面边长为1,侧棱长为,则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是（）C1D1E1F1A1DBCFEAB1A.90°B.60°C.45°D.30°(2002年全国高考）解法一：连结FE1、FD、BC1∴四边形BFE1C1是

8、平行四边形∴FE1∥BC1∴∠FE1D是异面直线E1D与BC1所成的角或补角∵底长为1，棱长为=FE1∴△FDE1为等边三角形∴∠FE1D=60°B解法2：建立如图所示的直角坐标系。C1D1E1F1A1DBCFEAB1zxyBC1DE1∴cos,=BC1DE1BC1·DE1

9、BC1

10、

11、DE1

12、故,BC1DE1=60°∴E1D与BC1所成的角是60°故应选B一法向量：如果一个向量所在直线垂直于平面，则该向量是平面的一个法向量。1证明线面平行二法向量的主要作用取和直线平行的向量，验证该向量和法向量的点积是否为零。βa设平

13、面β的法向量为n,na是a的方向向量.aa·n=0aβa∥β例1.如图,正方体ABCD——A1B1C1D1中,E是的BB1中点,求证:BD1∥平面A1C1ECDBAB1C1D1A1EO法一：证明：连B1D1交A1C1于O连OEOD1=OB1B1E=BEOE∥BD1BD1平面A1C1EOE平面A1C1EBD1∥平面A1C1EECDC1D1BAA1B1zxy证法二：如图所示建立直角坐标系,且设正方体的棱长为2,D1(0,0,0),B(2,2,2),A1(2,0,0),C1(0,2,0),E(2,2,1)D1B∴=(2

14、,2,2)A1E=(0,2,1)C1E=(2,0,1)设平面A1EC1的法向量为n=(x,y,z)∴nA1E·=2y+z=0nC1E·=2x+z=0令x=1时，z=－2，y=1n=(1,1,－2)∴D1B·∴n=0D1B⊥nD1B平面A1EC1D1B∥平面A1EC1βα2证明面面垂直如图设n1,n2分别是平面α、β的法向量n1n2n1·n2=0当时a⊥β验证两个平面的法向量的点积是否为零。3、求直线和平面所成的角βCBθn设直线BA与平面β的夹角为θ，n为平面β的法向量,Ag1n与向量BA的夹角为锐角g1当θ=βCBA

15、θng2n与向量BA的夹角为钝角g2当θ=BACOEF例1如图所示,已知正四面体O—ABC，E、F分别是AB、OC的中点。(1)求OE与BF所成的角；（2）求BF与平面ABC所成的角。分析:(1)设OA=caOB=bOC=abc求出OE,BF,然后可求cosOE,BFBFOE·

16、

17、OE

18、

19、BF=(2)可过点O作OO’⊥平面ABC于点O’，O'若OO’与BF所成的角为θ，则BF与平面ABC所成的角为BACOEFabc解:(1)设正四面体O—ABC的棱长为1,OA=caOB=bOC=则a·b=c·b=a·c

20、

21、=1a

22、

23、=

24、

25、

26、=bcOE(+)abBFc－bOE·BF=(+)·ab()c－b(a·c+cb·a·b－

27、

28、2b－)cosOE,BFBFOE·

29、

30、OE

31、

32、BF=∴OE与BF所成的角为BACOEFabc（2）求BF与平面ABC所成的角。BACOEFabc(2)作OO’⊥平面ABC于点O’，设OO’与BF所成的角为θ,则BF与平面ABC所成的角为O'OO’=OC+CO’c=CEc=()OE－OCc=[](+)－abc(+)abc+BACOEFabcO'

33、

34、2OO’(+)2abc+(+)

35、a

36、2

37、b

38、2+

39、c

40、2+2a·bc·b+2+2a·

41、c∴

42、

43、OO’cos=OO’,BFBFOO’·

44、

45、OO’

46、

47、BF=()c－b(+)·abc+BACOEFabcO'cosOO’,BF∴求BF与平面ABC所成的角评析:利用向量讨论线面关系不需作辅助线，但需要正确设出空间向量的基底，再利用多面体的性质算出或找出其它的向量。balqn1n2g4.法向量的夹角与二面角的平面角的关系设,=gn1n2设a—l—b的平面角为qq=π－gbalqn1n2gg两个平面的法向量同时指向或背离。balqn1n2gbalqn1n2g设,=gn1n2设a—l—b的平面角为qq=g两个

48、平面的法向量一个指向另一个背离。例1如图,在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,AC与BD交于点E,C1B与CB1交于点F.(1)求证：A1C⊥平面BDC1(2)求二面角B—EF—C的大小(结果用反三角函数表示)证明:(1)以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则FEC1