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1、9.8利用法向量求距离知识要点（其中为向量的夹角）。求证:如果两条直线同垂直于一个平面,则这两条直线平行.OijxyzABD证明:以点O为原点,以射线OA为非负z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,k如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面,则称这个向量垂直于平面,如果,那么向量叫做平面的法向量。一、求点到平面的距离定义：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做点到平面的距离。即过这个点到平面垂线段的长度。一般方法：利用定义先做出过这个点到平面的垂线段，再计算这个垂线段的长度。PBA向量法：PA如图，已
2、知点P（x0,y0,z0）,A（x1,y1,z1），平面一个法向量，其中，d=即d=例1、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。DABCGFExyz解:如图建立空间直角坐标系，则G(0，O，2)， F(4，2，O)，E(2，4，0)，B(0，4，O)．=(2,-2,0),=(2,4,-2),=(2,0,0).设面GEF的法向量为=0=0DABCFExyzG∴2x一2y=O，2x+4y-2z=0，∴x=y，z=3y．令y=1
3、，则=(1,1,3)，点B到面GEF的距离为=2.直线到它平行平面的距离定义：直线上任一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离。由定义可知，求直线到它平行平面的距离的问题可由点到平面距离的知识来解决。2、求线面距离如图，直线a∥平面α,因直线a上任一点到平面α的距离与直线a到平面α的距离相等，故直线a与平面α的距离为其中点A为直线a上任一点，B为面α内任一点，为面α的一法向量．例2、在棱长为2的正方体AC,中，G为AA1的中点，求BD与面GB1D1的距离解：如图建立空间直角坐示系，则B(
4、2,2,O),G(2,0,1)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2)=(2,2,0),=(2,0,-1),=(0,0,2),设面GB1D1的法向量=(x,y,z),则=0∴2x+2y=0，2x-2=O，=011BDGABDCA1B1C1D1即y=-z，z=2x．令x=1．则=(1,-1，2)．∴BD与面GB1D1的距离为=3.两个平行平面的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线。公垂线夹在平行平面间的部分，叫做这两个平面的公垂线段。两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段长小于或等
5、于任一条夹在这两平行平面间的线段长。两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。求两平行平面的距离，只要求一个平面上一点到另一个平面的距离，也就是求点到平面的距离。4、求面面距离如图，平面α∥平面β，因平面α上任一点到β的距离等于两平面的距离，故两平行平面间的距离其中点A为面α内任一点，B为面β内任一点，为面α或面β的法向量．例3已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，1)求证：面ABC∥面AlClD；2)求面ABIC与面AlClD的距离．解：如图建立空间直角坐标系，则A(1，O，
6、0)，B(1，1，O)， C(0，1，0)，D(0，0，O)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，Cl(O，1，1)，D1(O，0，1)．=（1,0,1）,=（0,1,1）,=（-1,0,0）.1)证明(略)2)设面AlC1D的法向量，=(x，y，z)，=0=0∴x+z=0，y+z=O，即x=-z，y=-z令z=1则=(-1，-1，1)，∴面AB1C与面A1C1D的距离为=二、求异面直线的距离求异面直线距离的常用方法：（1）找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。（2）转化为求线面间的距离。b
7、aαa//平面α（3）转化为求平行平面间的距离。abαβ（2），（3）可进一步转化为点到平面的距离。a//平面β,b//平面α（4）用模型公式（5）向量方法：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长nabEF例4在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AAl=4，AC=BC=2，∠ACB=900，E为AB的中点，求异面直线EC与AB1的距离．解：如图建立空间直角坐标系，=(-2,2,4),=(1,1,0),,,=(-1,1,0).设=(x，y，z)，且则A(2,
8、0,O)，B(0,2,4)，E(1,1,O)，=0=0∴∴-2x+zy+4z=O,x+y=O，即z=x,y=-x，令x=1，则=(1，-1，1)，∴异面直线EC与ABl的距离=例2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线DA1与AC的距离。ABDCA1B1C1D1xyz
