《向量法求距离》PPT课件.ppt

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1、专题三：向量法求距离βdaaaabba有关距离的几个概念平行线间的距离da∥b异面直线间的距离a'da、b是异面直线,d是a与b的距离。直线和平面的距离da∥a,d是a与a的距离。平行平面间的距离a∥β,d是a与β的距离。1.空间两点间距离AB已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)

2、AB

3、=其中dA,B表示A与B两点间的距离，这就是空间两点间的距离公式。2.点到平面的距离已知AB为平面a的一条斜线段,n平面a的法向量.求证:A到平面a的距离

4、

5、AB·n

6、

7、nd=αBCAn证明：cos,ABn∵AB·n

8、

9、n

10、

11、AB=

12、设C点为A在平面α内的射影。∠BAC=,ABn或∠BAC,ABn=π－∴cos∠BAC=cos,ABn

13、

14、∴A到平面a的距离AC=AB·cos∠BAC=

15、

16、·ABcos,ABn

17、

18、=

19、

20、·AB

21、AB·n

22、

23、

24、n

25、

26、AB

27、

28、AB·n

29、

30、n=βa3.直线和它平行平面的距离n已知直线a∥平面β,求a到平面β的距离解：因a上的任意一点到平面β的距离都相等。所以直线和它平行平面的距离转化点到面的距离AB在a和平面β上分别任取一点A和Bn是平面β的一个法向量直线a和它平行平面β的距离为

31、

32、AB·n

33、

34、nd=例1如图,在棱长为1的

35、正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是A1B1、CD的中点,求点B到截面AEC1F的距离。C1FECDBAA1B1D1解：以D为原点,如图所示建立直角坐标系。zyx则A(1,0,0),AE∴AF设面AEC1F的法向量为n=(1,λ,μ)∴AE·n=0AF·n=0C1FECDBAA1B1D1zyxn∴=(1,2,－1)AB又∵=(0,1,0)所以B点到截面AEC1F的距离为：

36、

37、AB·n

38、

39、nd=β3.异面直线间的距离a'PAB已知异面直线a、b,求a、b之间的距离。ab解：过b上任一点P,作a’∥a不妨令a’、b确定的平面

40、为β∴a∥β∴异面直线a、b之间的距离,转化直线a和它平行的平面β之间的距离∴可在a上任一点A,b上任一点B,n是平面β的一个法向量n∴a、b之间的距离

41、

42、AB·n

43、

44、nd=a’∥an⊥βa’ββa'PABabnn⊥aaban·a=0n⊥βbβn⊥bbabn·b=0AB所以在求两条异面直线的距离时,只需在两条异面直线a、b上分别任取一点A、B。设与a、b的方向向量都垂直的向量为n则nn·a=0n·b=0异面直线间的距离∴a、b之间的距离

45、

46、AB·n

47、

48、nd=[例1]在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直

49、线A1C1与B1C的距离。yxzC1DB1CDB1A1A解：如图所示建立直角坐标系，则A1(1,0,1),C1(0,1,1),B1(1,1,1),C(0,1,0).A1C1=(－1,1,0)B1C=(－1,0,－1)设A1C1与B1C的公垂线的方向向量n=(x,y,z)yxz1CDB1A1取x=1得n=(1,1,－1)又A1B1=(0,1,0)∴A1C1与B1C的距离C1Dβa4.两个平行平面间的距离ABn

50、

51、AB·n

52、

53、nd=A、B分别是a、β上的任意点，n是平面a、β的一个法向量[例2]如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1

54、C1D1中,(1)求证：平面A1BD∥平面CB1D1；(2)求平面A1BD和平面CB1D1的距离。C1D1CDB1A1BA(1)证明：矩形A1BCD1A1B∥D1C矩形DBB1D1D1B1∥BDA1B,BD平面A1BDA1B∩BD=BD1C,D1B1平面CB1D1平面A1BD∥平面CB1D1(2)求平面A1BD和平面CB1D1的距离。解：如图所示建立直角坐标系。n·令平面A1BD的法向量为=(1,y,z)nC1D1CDB1A1BA∴D(0,0,0),A1(a,0,a),D1(0,0,a).B(a,a,0),DA1=(a,0

55、,a),BA1=(0,－a,a),DA1=a+az=0n·BA1=－ay+az=0即z=－1y=－1=(1,－1,－1)n∴D1A1∵=(a,0,0)d=

56、

57、n

58、

59、nD1A1·zyx