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1、实验一题目：多项式最小二乘法1•数学原理：对于给定的测量数据3加1,2,…,h）,设函数分布为丿（兀）=工％伟（兀）7=0特别的,取禺（兀）为多项式（pf（x）=xJ（j=0,tn）则根据最小二乘法原理，可以构造泛*1…，為）=》（/;•一工勺％（旺））/=!j=0令dH——=0（k=0,],•••,m）dak则可以得到法方程「（00,00）（5,00）…（％，%）「石「（/，%）「（00，%）（®，e）…（％，%）••••••■■=(")■■•••Wo，0")@，久)…@“，0丄■_an,_■求
2、该解方程组，则町以得到解d°，e，…,％“，因此可得到数据的最小二乘解；=02•程序设计:木实验采用Matlab的M文件编写。其中多项式函数禺=xj写成function的方式，如下functiony=fai（xj）y=l;fori=I:jy=x.*)；;end写成如上形式即可，下而给出主程序。多项式最小二乘法源程序clear%%%给定测量数据点(s,f)s二[3456789];f=[2.012.983.505.025.476.027.05];%%%计算给定的数据点的数Hn=length(f);%%
3、%给定需要拟合的数据的授高次多项式的次数m-10;%%%程序主体fork=O:m;g=zeros(l,m+l);fort=0;fori=1.72；%计算内积(fai(si),fai(si))t=f+•衍i何i),j)节ai(s(i),k);endg(j+l)n；endA(k十】,:)=g;%法方程的系数矩阵t=0;fori=l:n;Q/o计算内积(f(si),fai(si))t=t+f(i)*fai(s(i),k);endb(k+l,l)=t;enda=Ab%求出多项式系数y=0；fori=O:
4、m;y=y+a(i+1)*fai(xti);endplot(x,y)%作出拟合成的多项式的曲线gridonholdonplot(s,f,Yx?%在上图中标记给定的点3•结果分析和讨论：例用最小二乘法处理下面的实验数据.3456789fi2.012.983.505.025.476.027.05并作111/(X)的近似分布图。分别采用一次，二次和五次多项式来拟合数据得到相应的拟合多项式为:yl=-0.38643+0.82750x；y2=-1.03024+1.06893x-0.02012x2；y5=-5
5、0.75309+51.53527x-19.65947x2+3.66585x3-0.32886x4+0.01137x5；分别作出它们的曲线图，图中点划线为yl曲线，实线为y2曲线，虚线为y5曲线。乂为给定的数据点。从图中可以看出并不是多项式次数越高越好，次数高了，曲线越能给定点处和实际吻合，但别的地方就很差了。因此，本例选用一次和两次的多项式拟合应该就可以了。实验二题目：非线性方程求解1•数学原理:对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。对于二分法，其数学
6、实质就是说对于给定的待求解的方程丿，其在［a,b］±.连续，f(a)f(b)<0,且f(x)在［仏方］内仅有一个实根取区间中点c,若,则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间［q,c］和［”］中的哪-•个，从而得出新区间，仍称为［〃］。重复运行计算，直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0,然后根据其迭代公式产牛逼近解/的迭代数列｛切，这就是Newton法的思想。当勺接近T时收敛很快，但是当初选择不好时，可能会发散，因此初值的选取
7、很重耍。另外，若将该迭代公式改进为其屮r为要求的方程的根的重数,这就是改进的Newton法,当求解己知重数的方程的根时,在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。2•程序设计:木实验采用Matlab的M文件编写。其屮待求解的方程写成function的方式，如下functiony=f(x);y=-x^x-sin(x);写成如上形式即口J,下面给出主程序。二分法源程序：clear%%%给怎求解区间b=1.5;a=0;%%%误差R=l;k=0;%迭代次数初值while(R>5e-6);c=(a+b
8、)/2;iffl2(a)^fl2(c)>0;a=c;elseb=c;endR=b-a;%求出误差k=k+l;endx=c%给出解Newton法及改进的Newton法源程序：clear%%%%输入函数f=input('请输入需要求解函数>>:k')%%%求解f(x)的导数df=diff(f);%%%改进常数或重根数miu=2;%%%初始值xOxO=input(,inputinitialvaluex0>>f);XO;%迭代次数max-200;%最大迭代次数R=eval(subs(f/x
