数值分析实验题( 华科).doc

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1、数值分析实验作业专业：姓名：学号：实验2.1多项式插值的振荡现象［问题提出］:考虑在一个同定的区间上用插值逼近一个函数，显然Lagrange插值屮使用的节点越多，插值多项式的次数就越高，我们自然关心插值多项的次数增加时，Ln(x)是否也更加靠近逼近的函数，Runge给出的例了是极著名并寫有启发性的，设区间卜1,1］上函数./(X)--—91+25对［实验内容h考虑区间卜1,1］的一个等距离划分，分点为2/.xi=一1—,i=0丄2,n则拉格朗口插值多项式为其中，1(兀)，i=0,l,2,...,n是n次Lagrange插值函数。［

2、实验要求h(1)选择不断增大的分点数目”2,3,…画出原函数f(x)及插值多项式函数Ln(x)在f-1,1］上的图像,比较并分析实验结果。(2)选择其他的函数，例如定义在区间卜5,5］上的函数，h(x)=—,g(x)=arctanx1+x重复上述的实验看其结果如何。解：以下的f(x)、h(x)、g(x)的为插值点用表示，朗格朗LI拟合曲线用连续曲线表示。通过三个函数的拉格朗口拟合可以看到，随着插值点的增加，产生Rung现象。(1)f(x)0.80.4•1多项式求值的振荡现線n=8Illiiiiiii—14.一一

3、p.—14.一一1

4、♦心）lagrange(x)•0.8・0.6040200.20.40.60.80^02040608多项式求值的按荡现彖n=10•0.8・0.6040200.20.40.60.8(2)h(x)多项式求值的振荡M^n=11(3)g(x)多项式求值的振荡现象心3多项式求值的振荡现彖n=5实验3.1最小二乘法拟合编制以函数{/}to为基的多项式最小二乘拟合程序，并用于对表中的数据作三次多项式最小二乘拟合。-1.0-0.50.00.51.01.52.0-4.447-0.4520.5510.048-0.4470.5494.552取权数J三I，

5、求拟合1山线G屮的参数陆},平方误差62,并作离散数据{*)1}*=0的拟合函数y=0‘(兀)的图形。解：三次多项式的拟合曲线为：y=(p{x)=a()+a}x+a2x2+tz3x3此题中权函数Q>)=1,即W=(l,l,l,l丄1,1)利用法方程ATAa=AtY求解这个方程组，就可以得到系数a。解之得：创=0.54912。=—3.9683x10—5,^=-2.9977,=1.9991故拟合的函数为:y=().54912-3.9683x10—5^—2.9977/+1.9992,平方误差为:2.176191667187105e-05

6、拟合的函数图像如下：3次多项式拟合，平方i^^=2.1762e-05实验5.1常微分方程性态和R-K法稳定性试验［试验目的］:考察下面的微分方程右端项屮函数y前面的参数对方程性态的影响(它可使方程为好条件的或坏条件的)和研究计算步长对R-K法计算稳定性的够响。［实验题目h=ay-ax+,y(0)=1常微分方程初值问题0

7、法计算，将四组计算结果画在同一张图上，进行比较并说明相应初值问题的性态。(2)对于参数Q为一个绝对值不大的负值和两个计算步，一个计算步使参数引7在经典R・K法的稳定域内，另一个步长在经典的R・K法的稳定域外。分别用经典R・K法计算并比较计算结果。取全域等距的10个点上的计算值，列表说明。解:对于4阶R・K法绝对稳定区为：—2.78552h50这里A=a，所以绝对稳定区为：—2.785SahS()(1)对于h=0.01,绝对稳定区：一278.55Q50a21■1・2h0.010.010.010.01微分方程数值解987654321-

8、0将确解半数值解0.10.20.30.40.50.60.70.80.91X⑵对于cr=-20,稳定区OShSO」391a-20-20h0.010」5Xy（精确解）数值解V1(a=-20,h=0.01)yi-y数值解y2(a=-20,h=0.15)yi-y0.150.1997870.1997892.35E-061.5250001.3252130.300.3024790.3024792.34E-072.1906251.8881460.450.4501230.4501231.75E-083.0496092.5994860.600.600

9、0060.6000061.16E-094.1744633.5744570.750.7500000.7500007.23E-115.6648864.9148860.900.9000000.9000004.32E-127.6579696.757969可