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1、数值分析实验报告姓名：魏汝明院系：土木工程与力学学院学号：M一、实验1.1（病态问题）1、实验要求：考虑一个高次的代数多项式：(E.1.1)显然该多项式的全部根为1，2，…，20，共计20个，且每个根都是单重的(也称为简单的)。现考虑该多项式的一个扰动(E.1.2)其中，是一个非常小的数。这相当于是对方程(E.1.1)中的系数作一个小的扰动。比较方程(E.1.1)和方程(E.1.2)根的差别，从而分析方程(E.1.1)的解对扰动的敏感性。2、实验步骤与结果分析：(一)实验源程序clcresult=inputdlg({'请输入扰动项:在[0
2、20]之间的整数:'},'charpt1_1',1,{'19'});Numb=str2num(char(result));if((Numb>20)
3、(Numb<0))errordlg('请输入正确的扰动项:[020]之间的整数!');return;endresult=inputdlg({'请输入(01)之间的扰动常数:'},'charpt1_1',1,{'0.00001'});ess=str2num(char(result));ve=zeros(1,21);ve(21-Numb)=ess;root=roots(poly(1:20)+ve)
4、;x0=real(root);y0=imag(root);plot(x0',y0','*');gridontitle('根值位置图')disp(['对扰动项',num2str(Numb),'加扰动',num2str(ess),'得到的全部根为:']);disp(num2str(root));(二)实验结果分析对于x19项的扰动ess，不同的取值对应的结果如下所示：①对扰动项19加扰动1e-010得到的全部根为：19.9961，19.0257，17.9085，17.1508，15.7982，15.181，13.8995，13.0571，11
5、.9753，11.0109，9.99608，9.00111，7.99978，7.00003，6，5，4，3，2，1②对扰动项19加扰动1e-009得到的全部根为：19.952，19.2293，17.6573+0.i，17.6573-0.i，15.4524+0.i，15.4524-0.i，13.3527+0.i，13.3527-0.i，11.8578，11.0427，9.9916，9.00201，7.99952，7.00009，5.99999，5，4，3，2，1③对扰动项19加扰动1e-007得到的全部根为：20.422+0.i，20.42
6、2-0.i，18.1572+2.4702i，18.1572-2.4702i，15.3149+2.69865i，15.3149-2.69865i，12.8466+2.06246i，12.8466-2.06246i，10.9216+1.10366i，10.9216-1.10366i，9.56629，9.11508，7.99387，7.00027，6，5，4，3，2，1④对扰动项19加扰动1e-005得到的全部根为：22.5961+2.3083i，22.5961-2.3083i，18.8972+5.00563i，18.8972-5.00563i
7、，14.9123+4.95848i，14.9123-4.95848i，12.0289+3.73551i，12.0289-3.73551i，10.059+2.33021i，10.059-2.33021i，8.63828+1.0564i，8.63828-1.0564i，7.70896，7.028，5.99942，5.00001，4，3，2，1根在复平面上的位置如图所示：图ess=1e-010图ess=1e-009图ess=1e-007图ess=1e-005从实验的图形中可以看出，当ess充分小时，方程E.1.1和方程E.1.2的解相差很小，当
8、ess逐渐增大时，方程的解就出现了病态解，这些解都呈现复共轭性质。并且，病态解首先出现在x=16这个解附近，如ess=1e-009时，x=20，19，12，11，…，2，1的解基本误差不大。在x=16附近，扰动后的解偏离实轴程度较严重，随着ess的增大，扰动对解的影响从x=16附近开始向两边波及，并且偏离实轴的幅度越来越大。x=0,1，2,3,4,5这些阶次较小的解对x19上的扰动最不敏感。(2)将扰动项加到x18上后，ess=1e-009时方程的解都比较准确，没有出现复共轭现象。ess=1e-008时误差与x19(ess=1e-009)
9、时相当，即扰动加到x18上比加到x19小一个数量级。对x8的扰动ess=1000时没有出现复共轭，误差很小；对x的扰动ess=10e10时没有出现复共轭，误差很小。因此，扰动作用到xn上时，n
