2020年高考数学（理）一轮复习讲练测 专题5.1 平面向量的概念及线性运算（讲） 含解析

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1、2020年高考数学（理）一轮复习讲练测专题5.1平面向量的概念及线性运算1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.知识点一向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a

2、的单位向量为±平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0知识点二向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则　　　平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算

3、λa

4、＝

5、λ

6、

7、

8、a

9、，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb知识点三共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.,向量概念的4点注意(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且

10、0

11、0.(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同．(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性

12、．比如：命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”是假命题，因为当b为零向量时，a，c可为任意向量，两者不一定平行．(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上．【特别提醒】向量线性运算的3点提醒(1)两个向量的和仍然是一个向量．(2)利用三角形法则时，两向量要首尾相连，利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点．(3)当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则不适用．【拓展提升】共线向量定理的深解读定理中限定了a≠0，这是因为如果a＝0，则λa＝0，(1)当b≠0时，定理中的λ不存在；(2)当b＝0时

13、，定理中的λ不唯一．因此限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．知识点四必备结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．2.在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论：(1)＋＋＝0；(2)＝(＋)；(3)＝(＋)＝(＋)．3．若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.4．对于任意

14、两个向量a，b，都有：①

15、

16、a

17、－

18、b

19、

20、≤

21、a±b

22、≤

23、a

24、＋

25、b

26、；②

27、a＋b

28、2＋

29、a－b

30、2＝2(

31、a

32、2＋

33、b

34、2)．当a，b不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系．考点一平面向量的有关概念【典例1】（河北衡水二中2019届高三调研）给出下列四个命题：①若

35、a

36、＝

37、b

38、，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝

39、c，则a＝c；④a＝b的充要条件是

40、a

41、＝

42、b

43、且a∥b.其中正确命题的序号是(　　)A.②③B.①②C.③④D.②④【答案】A【解析】①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确.∵＝，∴

44、

45、＝

46、

47、且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则

48、

49、＝

50、

51、，∥且，方向相同，因此＝.③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确.当a∥b且方向

52、相反时，即使

53、a

54、＝

55、b

56、，也不能得到a＝b，故

57、a

58、＝

59、b

60、且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是②③.【归纳总结】向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．【变式1】（山东泰安一