（浙江专用）高考数学一轮复习讲练测专题5.1平面向量的概念及线性运算（讲）（含解析）

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1、第01讲平面向量的概念及运算---讲1.平面向量的实际背景及基本概念：理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念.2.向量的线性运算：掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.3.高考预测：（1）以考查向量的线性运算、共线为主，且主要是在理解它们含义的基础上，进一步解题，如利用向量的线性运算求参数等；（2）考查单位向量较多.（3）常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线等问题；也易同解析几何知识相结合，以工具的形式出现．.4.备考重点：(1)理解相关概念是基础，掌握线性运算的

2、方法是关键；(2)注意与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题，注意运用数形结合的思想方法.知识点1．向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．【典例1】（2019·重庆高二期末）下列命题中，正确的个数是（）①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若，满足且与同

3、向，则；④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；⑤若，则．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】对于①，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误；对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；对于④，向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误；对于⑤，时，，，则与不一定平行．综上，以上正确的命题个数是0．故选A．【易错提醒】有关平面向量概念的注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为

4、平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点．(5)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．【变式1】设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝

5、a

6、·a0；②若a与a0平行，则a＝

7、a

8、a0；③若a与a0平行且

9、a

10、＝1，则a＝a0，假命题的个数是(　　)A．0　　　　　　　　　B．1C．2D．3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，a

11、与

12、a

13、a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－

14、a

15、a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.知识点2．平面向量的线性运算一．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：；三角形法则平行四边形法则(2)结合律：减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则二．向量的数乘运算及其几何意义1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①

16、λa

17、＝

18、λ

19、

20、

21、a

22、；②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：①；②；③.【典例2】（2018年新课标I卷理）在△中，为边上的中线，为的中点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.【总结提升】平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．【变式2】（2019

23、·浙江高一期末）已知点G为的重心，若，，则=()A．B．C．D．【答案】B【解析】设是中点，则，又为的重心，∴．故选B．知识点3．共线向量共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.【典例3】（2019·浙江高一期末）在梯形中，已知，，点在线段上，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，所以，所以.故选C.【规律方法】1.平面向量共线定理的三个应用2.求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．

24、(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)直线的向量式参数方程：A，P，